1． ；2．

分析：利用求导的方法，先确定可能取到极值的点，然后依据极值的定义判定．在函数的定义域内寻求可能取到极值的“可疑点”，除了确定其导数为零的点外，还必须确定函数定义域内所有不可导的点．这两类点就是函数在定义内可能取到极值的全部“可疑点”．

解：1．

令，解得，但也可能是极值点．

当或时，，

∴函数在和上是增函数；

当时，，

∴函数在(0，2)上是减函数．

∴当时，函数取得极大值，

当时，函数取得极小值．

3．函数的定义域为R．

令，得．

当或时，，

∴函数在和上是减函数；

当时，，

∴函数在(－1，1)上是增函数．

∴当时，函数取得极小值，

当时，函数取得极大值

说明：思维的周密性是解决问题的基础，在解题过程中，要全面、系统地考虑问题，注意各种条件 综合运用，方可实现解题的正确性．解答本题时应注意只是函数在处有极值的必要条件，如果再加之附近导数的符号相反，才能断定函数在处取得极值．反映在解题上，错误判断极值点或漏掉极值点是学生经常出现的失误．

复杂函数的极值

例 　求下列函数的极值：

2．函数定义域为R．

令，得或．

当或时，，

∴函数在和上是减函数；

当时，，

∴函数在(0，2)上是增函数．

∴当时，函数取得极小值，

当时，函数取得极大值．

1．；2．；3．

分析：按照求极值的基本方法，首先从方程求出在函数定义域内所有可能的极值点，然后按照函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值．

解：1．函数定义域为R．

令，得．

当或时，，

∴函数在和上是增函数；

当时，，

∴函数在(－2，2)上是减函数．

∴当时，函数有极大值，

当时，函数有极小值

4．函数定义域为，当时，

令，解得，∴，

又，∴

说明：对于闭区间上的连续函数，如果在相应开区间内可导，求上最值可简化过程，即直接将极值点与端点的函数值比较，即可判定最大(或最小)的函数值，就是最大(或最小)值．解决这类问题，运算欠准确是普遍存在的一个突出问题，反映出运算能力上的差距．运算的准确要依靠运算方法的合理与简捷，需要有效的检验手段，只有全方位的“综合治理”才能在坚实的基础上形成运算能力，解决运算不准确的弊病．

求两变量乘积的最大值

例　 已知为正实数，且满足关系式，求的最大值．

分析：题中有两个变量x和y，首先应选择一个主要变量，将表示为某一变量(x或y或其它变量)的函数关系，实现问题的转化，同时根据题设条件确定变量的取值范围，再利用导数(或均值不等式等)求函数的最大值．

解：解法一：，

∴．

由解得．

设

当时，

　　　　　　 　　　　．

令，得或(舍)．

∴，又，∴函数的最大值为．

即的最大值为．

解法二：由得，

设，

∴，设，

则

令，得或．

，此时

∴

即当时，

说明：进行一题多解训练，是一种打开思路，激发思维，巩固基础，沟通联系的重要途径，但要明确解决问题的策略、指向和思考方法，需要抓住问题的本质，领悟真谛，巧施转化，方可快捷地与熟悉的问题接轨，在实现转化的过程中，关键是要注意变量的取值范围必须满足题设条件，以免解题陷于困境，功亏一篑．

3．．

令，即，解得

当时，，当时，．

∴函数在点处取得极小值，也是最小值为

即．

2．，令，得，

∴，

又．

∴

4．．

分析：函数在给定区间上连续可导，必有最大值和最小值，因此，在求闭区间上函数的最值时，只需求出函数在开区间内的极值，然后与端点处函数值进行比较即可．

解：1．，令，得，

∴．又

∴

3．

2．；