1．；2．；

4．

说明：分不清复合函数的复合关系，忽视最外层和中间变量都是基本函数的结构形式，而最内层可以是关于自变量x的基本函数，也可以是关于自变量的基本函数经过有限次的四则运算而得到的函数，导致陷入解题误区，达不到预期的效果．

求函数的导数

例　 求下列函数的导数．

3．；

2．；

1．；

3．；4．。

分析：由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解决这类问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外及里，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常见的基本函数，逐步确定复合过程．

解：函数的复合关系分别是

1．；2．；

3．解析　

说明：本题考查数列极限公式的应用．

根据已知极限和四则运算求其它极限

例　 若，且存在，则

A．0　 B．　 C．　 D．不存在

分析：根据题设知和均存在极限，这是进行极限运算的前提，然后相减即可求得结论．

解：

又

∴

即

选C．

说明：是关键，不能错误地认为，．

两个数列、的极限存在是两个数列的和．差、积存在极限的充分条件．但的极限不一定存在．

化简表达式再求数列的极限

例 　求下列极限

(1)

(2)

(3)

分析：先运用等差数列、等比数列的前n项公式求和，或运用其他方式化简所给表达式，再进行极限的四则运算．

解：(1)原式

(2)原式

(3)原式

说明：先化简，再求极限是求极限经常用到的方法，不能认为而得到(1)的结果是0．

无穷比无穷和字母讨论的数列极限

例 　求下列极限：

(1)　 (2)

分析：第(1)题属“”型，一般方法是分子，分母同除以各式中幂的值最大的式子．第(2)题中当a的值在不同范围内变化时，分子，分母的极限或变化趋势)不同，因此要分各种情形进行讨论．

解：(1)原式

(2)当时，，

当时，

说明：含参数的式子求极限，经常要进行讨论，容易出现的问题是错误地认为．

根据极限确定等比数列首项的取值范围

例　 已知等比数列的首项为，公比为q，且有，求的取值范围．

分析：由已知条件及所给式子的极限存在，可知存在，因此可得q的取值范围，从而确定出的取值范围．

解：由，得存在．

∴且 或 ．．

当时，有 ，

∴ ，

∴解得 ，

又，因此 ．

当时，这时有，　 ∴．

综上可得：，且或．

说明：在解决与数列有关的问题时，应充分注意相关知识的性质，仅从极限的角度出发来考虑q的特点，容易将这一条件忽视，从而导致错误．

求函数在某一点处的极限

例 　求下列极限：

(1)

(2)

(3)

(4)

分析：第(1)题中，在函数的定义域内，可直接用极限的四则运算法则求极限；(2)、(3)两个极限分子、分母都趋近于0，属“”型，必须先对函数变形，然后施行四则运算；(4)为“”型，也应先对函数作适当的变形，再进行极限的运算．

解：(1)

(2)

(3)

(4)

说明：不能错误地认为，由于不存在，也不存在，因此(4)式的极限不存在．(4)属于“”型，一般要先对函数式进行变形，变为“”型或“”型，再求极限．

函数在某一点处零比零型的极限

例 　求下列极限：

(1)　 (2)

分析：第(1)题中，当时，分子、分母的极限都是0，不能用商的极限的运算法则，应该先对分式变形，约去一个极限为零的因式后再应用极限的运算法则求分式的极限，常用的变换方法有：

　　 ①对多项式进行因式分解；②对无理式分子或分母有理化；③对三角函数式(如第(2)题，先进行三角恒等变换，再约分．

解：

(1)原式

(2)原式

说明：如果分子、分母同乘以，对(1)式进行变形，思维就会受阻，正确的方法是分子、分母同乘以分子、分母的有理化因式，分母的有理化因式是．

2．解析　

说明：本题的思考障碍点是如何求？--只要懂得在通项公式中令，可立得的具体值，本题考查数列极限的基本知识．

1．解析　

说明：利用数列极限公式，把原题的代数式稍加变形即可获解．本题主要考查灵活运用数列极限公式的能力．