5．在△ABC中，“a>b”是“sinA>sinB”的__________条件.

4．在△ABC中，3sinA+4cosB=6, 3cosA+4sinB=1，则=__________.

3．在△ABC中，a=4, b+c=5, tanC+tanB+tanCtanB，则△ABC的面积为__________.

2．在△ABC中，若AB=1，BC=2，则的取值范围是__________.

1．在△ABC中，边AB为最长边，且sinAsinB=，则cosAcosB的最大值为__________.

4．三角换元。

例5　 设a, b, c∈R⁺，且abc+a+c=b，试求的最大值。

例6　 在△ABC中，若a+b+c=1，求证: a²+b²+c²+4abc<

3．一个常用的代换：在△ABC中，记点A，B，C到内切圆的切线长分别为x, y, z，则a=y+z, b=z+x, c=x+y.

例4　 在△ABC中，求证：a²(b+c-a)+b²(c+a-b)+c²(a+b-c) ≤3abc.

2．正弦定理的应用。

例2 △ABC内有一点P，使得BPC-BAC=CPA-CBA=APB-ACB。

求证：AP·BC=BP·CA=CP·AB。

例3 △ABC的各边分别与两圆⊙O₁，⊙O₂相切，直线GF与DE交于P，求证：PABC。

1．面积法。

例1　 (共线关系的张角公式)如图所示，从O点发出的三条射线满足，另外OP，OQ，OR的长分别为u, w, v，这里α，β，α+β∈(0, )，则P，Q，R的共线的充要条件是

2．余弦定理：a²=b²+c²-2bccosA，下面用余弦定理证明几个常用的结论。

(1)斯特瓦特定理：在△ABC中，D是BC边上任意一点，BD=p，DC=q，则AD²=　　　 (1)

[证明]　 因为c²=AB²=AD²+BD²-2AD·BDcos，

所以c²=AD²+p²-2AD·pcos　　　 ①

同理b²=AD²+q²-2AD·qcos，　　　 ②

因为ADB+ADC=，

所以cosADB+cosADC=0，

所以q×①+p×②得

qc²+pb²=(p+q)AD²+pq(p+q)，即AD²=

注：在(1)式中，若p=q，则为中线长公式

(2)海伦公式：因为b²c²sin²A=b²c² (1-cos²A)= b²c² [(b+c)-a²][a²-(b-c) ²]=p(p-a)(p-b)(p-c).

这里

所以S_△ABC=