1、；　2、；　3、；

2． ； 3．(提示：设，则将代入双曲线方程得。)； 4．(提示：到AB的距离之和为8。)

[例题探究]

例1．解析设P点的坐标为，则由方程得，A、B两点的坐标分别为又

即，又直线与椭圆交于两点，所以所以点P的轨迹方程为。

例2．解析(1)，又，从而，所以

点在以A、B为焦点，长半轴，半焦距，短半轴的椭圆上，曲线E的方程为

(2)设直线，代入E的方程，消，可得所以有解之得设的中点为两点的坐标分别为，，将得所以即为M点的轨迹方程。

例3．解析(1)由右准线设则由，得且，=，故有，即为所求点的轨迹G的方程。

(2)当，即时，轨迹G是焦点在平行于轴的直线上的椭圆，设其焦点,则消去得

(3)当，即时，轨迹G为圆，其方程为：即又的右准线即

圆心G到准线的距离为此时G与相交。

例4．解析：(1)直线过点，当斜率存在时，设其斜率为，则的方程为记由题设可得点A、B的坐标是方程组的解，消去得于是，设点P的坐标为，则　 消去参数得 ①当不存在时，A、B中点为坐标原点(0，0)，也满足方程①，所以点P的轨迹方程为。

(1)　　　 由点P的轨迹方程知即

又故

当时，取得最小值为；

当时，取得最大值为。

　[冲刺强化训练18]

1．(提示：设动点，则。)；

9．(1)　 圆，设，，

则切线，

　 都过点，

；

因此直线方程就是过点、的直线。

又直线过点，代入解方程可得： ，

(2)直线斜率为，，，原点到直线的距离为

　　　　　　　 即，解得　

　　　　　　　 ，所求椭圆方程为：

　　　 (3)由题意若存在，则有，即　　　　 ，得

第18讲　求轨迹方程

[课前热身]

8．解：(1)由题设，直线AB的方程为，由，得设，　 则，为常数。

(2)设，由得，由于，得，且，。

7．解：由条件知，双曲线焦点在轴上，抛物线开口向右，所以抛物线方程为

，因为在抛物线上，所以所以P=2，所以抛物线方程为。因为抛物线的准线过双曲线的焦点，所以，即①，又双曲线过点所以②，由①②得故双曲线方程为

1．C　2、A　3、D　 4、C　 5．1　 6．最大值6、最小值2

4．

[例题探究]

例1．[略解]：解析如图所示：　　　　　　　　　　　　　

再设A、B、N三点到左准线的距离分别为由梯形中位线定理，有，而已知，得离心率

，则椭圆方程为

例2．[略解]：解析(1)右准线为，由对称性不妨设渐近线为，则，又，又

(2)的长即到的距离，即又故双曲线的方程为

(3)PF的方程为又左准线为

又M是PN的中点，，N在双曲线上，即，解得即

例3．解析(1)由抛物线的光学性质知光线PQ必经过抛物线的焦点F()

当直线PQ的倾斜角不为时，设　 PQ的方程为，①

由①式得，将其代入抛物线方程中，整理得

由韦达定理得.

当直线PQ的倾斜角为时，将代入抛物线方程，得同样可以得到

(2)因为光线QN经直线反射后又射向M点，所以MN与QN关于直线反射对称，设点M()关于的对称点为，则

　　 解得　

　 直线QN的方程为点纵坐标又由题设知P点的纵坐标，且由(1)知得P=2，所以抛物线的方程为

(3)将代入，得，故P点坐标为()；

将代入直线，得，故N点坐标为()

由N、P两点坐标得直线PN的方程为设M点关于直线PN的对称点则

　 解得　

将代入抛物线方程，原式成立。故抛物线上存在一点与点M关于直线PN对称。

[强化训练17]

2．C　 3．B(提示：，即，椭圆的下顶点与O点重合，则OP长度的最大值即为长轴的长。)

1．D(提示：①当时，，曲线为两条平行于轴的直线；②当时，，曲线为圆；③当时，曲线为双曲线；④当且时，曲线为椭圆，故不可能为抛物线。)