22．(本小题满分14分)

(文科)在数列

(1)求证：数列为等差数列；

(2)若m为正整数，当

解：(I)由变形得：

故数列是以为首项，1为公差的等差数列　　　　　　 (5分)

　 (II)(法一)由(I)得

(7分)

令

当

又

则为递减数列。

当m=n时，

递减数列。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (9分)

要证：时，

故原不等式成立。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (14分)

(法二)由(I)得

　　 (7分)

令

上单调递减。(9分)

也即证，

故原不等式成立。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (14分)

(理科)已知数列中，，当时，其前项和满足，

(1)　　　 求的表达式及的值；

(2)　　　 求数列的通项公式；

(3)　　　 设，求证：当且时，。

解：(1)

所以是等差数列。则。。

(2)当时，，综上，。

(3)令，当时，有　　　　 (1)

法1：等价于求证。

当时，令

，则在递增。

又，所以即。

法(2)

　　　　　　　　　　　　　　 (2)

　　　　 (3)

因

所以

由(1)(3)(4)知。

法3：令，则

所以

因则　　

所以　　 (5)　　 由(1)(2)(5)知

21．(本小题满分12分)

(文科)已知函数和的图象关于原点对称，且．

　 (Ⅰ)求函数的解析式；

　 (Ⅱ)解不等式；

　 (Ⅲ)若在上是增函数，求实数的取值范围．

解：(Ⅰ)设函数的图象上任意一点关于原点的对称点为，则

∵点在函数的图象上

∴

(Ⅱ)由

当时，，此时不等式无解。

当时，，解得。

因此，原不等式的解集为。

(Ⅲ)

①　　

②

ⅰ)

ⅱ)　　　

(理科)设函数在上是增函数。

(1)　　　 求正实数的取值范围；

(2)　　　 设，求证：

解：(1)对恒成立，

对恒成立　　 又　 为所求。…………5分

(2)取，，

一方面，由(1)知在上是增函数，

即……………………………………8分

另一方面，设函数　

∴在上是增函数且在处连续，又

∴当时，

∴　　　 即

综上所述，………………………………………………12分

20．(本小题满分12分)

已知抛物线经过点A(2,1)，过A作倾斜角互补的两条不同直线.

(Ⅰ)求抛物线的方程及准线方程；

(Ⅱ)当直线与抛物线相切时，求直线的方程

(Ⅲ)设直线分别交抛物线于B，C两点(均不与A重合)，若以线段BC为直径的圆与抛物线的准线相切，求直线BC的方程.

解：(Ⅰ)由于A(2,1)在抛物线上， 所以　 ，即. ………….2分

　　 故所求抛物线的方程为，其准线方程为. 　 ……………….3分

(Ⅱ)当直线与抛物线相切时，由，可知直线的斜率为1，其倾斜角为，所以直线的倾斜角为，故直线的斜率为，所以的方程为　 …6分

(Ⅲ)不妨设直线AB的方程为，　 ………………8分

　 　由　　　 得,……….10分

　易知该方程有一个根为2，所以另一个根为，

　所以点B的坐标为,

同理可得C点坐标为,　 ……………….11分

所以

,　 　　　　　　　 　　　……………….9分

线段BC的中点为，因为以BC为直径的圆与准线相切，

所以　 ,由于，　 解得　 .　 …………….10分

此时，点B的坐标为，点C的坐标为，

　直线BC的斜率为，

所以，BC的方程为，即.　 …….12分

19．(本小题满分12分)

如图，四棱锥中，⊥底面，底面为梯形，，，且，点是棱上的动点.

(Ⅰ)当∥平面时，确定点在棱上的位置；

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，求二面角余弦值.

解：(Ⅰ)在梯形中，由，，得，∴．又，故为等腰直角三角形．∴．

连接，交于点，则　　

∥平面,又平面,∴

在中，，

即时，∥平面

(Ⅱ)方法一：在等腰直角中，取中点，连结，则．∵平面⊥平面，且平面平面=，∴平面．

在平面内，过作直线于，连结，由、，得平面，故．∴就是二面角的平面角．　　　　　　

在中，设，则，

，，

，

由，可知：∽，∴，

代入解得：．

在中，，∴，

．∴二面角的余弦值为．　

方法二：以为原点，所在直线分别为轴、轴，如图建立空间直角坐标系．

设，则，，，，．

设，为平面的一个法向量，则，，∴，解得，∴．　　　　　

设为平面的一个法向量，则，，

又，，∴，解得，∴．

∴二面角的余弦值为．　

(文科)在四棱锥O-ABCD中，OA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AB=OA=tBC(t>0)。

　 (I)当t=1时，求证：BD⊥DC；

　 (II)若BC边有且仅有一个点E，使得OE⊥ED，求此时二面角A-CD-E的正切值。 　

解：(I)当t=1时底面ABCD为正方形，

又因为

又　　　　　　　 (5分)

　 (II)因为AB，AD，AO两两垂直，分别以它们所在

　 直线为x轴、y轴、z轴建立坐标系，如图所示，令AB=1，

可得

　　 则B(1，0，0)，(7分)

　　 设BE=m，则

　　 要使

　　 ∵BC边有且仅有一个点E，使得OE⊥ED。

　　 所以BC边上有且仅有一个点E，使得OE⊥ED时，E为BC的中点，且

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (9分)

　　 设面OED的法向量

　　 则　 即　 解得

　　 取平面OAD的法向量的大小与二面角A-DO-E的大小相等或互补。 所以

　　 因此二面角A-OD-E的正切值为　　　　　　　　　　　　　　　　　 (12分)

18．(本小题满分12分)

某商场准备在元旦节期间举行促销活动,根据市场调查,该商场决定从2种服装商品,2种家电商品,3种日用商品中,选出3种商品进行促销活动.

(Ⅰ)试求选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率;

(Ⅱ)商场对选出的某商品采用的促销方案是有奖销售,即在该商品现价的基础上将价格提高150元,同时,若顾客购买该商品,则允许有3次抽奖的机会,若中奖,则每次中奖都获得数额为的奖金.假设顾客每次抽奖时获奖与否的概率都是,请问:商场应将每次中奖奖金数额最高定为多少元,才能使促销方案对商场有利?

解: (Ⅰ)从2种服装商品,2种家电商品,3种日用商品中,选出3种商品一共有种选法,.选出的3种商品中没有日用商品的选法有种, 所以选出的3种商品中至少有一种日用商品的概率为.　　　　　　　 ……4分

(Ⅱ)顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额是一随机变量,设为X,其所有可能值为0, ,2,3.……5分

X=0时表示顾客在三次抽奖中都没有获奖,所以 ……6分

同理可得 ……7分

 ……8分

 ……9分

于是顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是.　　　 ……10分

要使促销方案对商场有利,应使顾客获奖奖金总额的期望值不大于商场的提价数额,因此应有,所以, 　　　　　　　　　…… 11分

故商场应将中奖奖金数额最高定为100元,才能使促销方案对商场有利.… 12分

17．(本小题满分12分)

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，

(1)求角C的大小；

(2)求△ABC的面积.

解：(I)由　 得

整理，得 ……………… …………… 4分

解得 　………………　 …6分

(II)由余弦定理得，　

　　，　　 　………………………8分　

　又，　　 ∴ab = 6……………………………10分

　…………………………12分

16. 给出封闭函数的定义：若对于定义域内的任意一个自变量,都有函数值,则称函数在上封闭.若定义域则给出下列函数：

(A) 　　　(B)

(C)　　　 　(D)

其中在D上封闭的是　　　　　　 .(填序号即可)　

答案　 BCD　

15. 如图所示，已知A、B、C是椭圆E：=1(a＞b＞0)上的三点，,BC过椭圆的中心O，且AC⊥BC，|BC|=2|AC|.则椭圆的离心率为　　　　　　

14. 设是的展开式中的一次项的系数,则

的值是　　 　　　

答案：18

13. 正三棱锥S-ABC的侧棱长为2，侧面等腰三角形的顶角为，过底面顶点作截面交侧棱SB、SC分别于M、N两点，则周长的最小值是　　　 　。