2010.4

　　　 本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，满分300分。考试时长150分钟。考生务必将答案写在答题卡和答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷、答题卡和答题纸一并交回。

以下数据可供解题时参考：

可能用到的相对原子质量：

　　　 H 1 　C 12　 N 14　　 O 16　 Na 23　 Cl 35．5　 Fe 56　 Cu 64　 Zn 65

第I卷(选择题　 共120分)

本卷共20小题。每题6分。共120分。在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

7．已知函数的图象在与轴交点处的切线方程是．

(I)求函数的解析式；

(II)设函数，若的极值存在，求实数的取值范围以及函数取得极值时对应的自变量的值．

6．已知函数且

　 (I)试用含的代数式表示；

　 (Ⅱ)求的单调区间；

　 (Ⅲ)令，设函数在处取得极值，记点，证明：线段与曲线存在异于、的公共点．

5． 已知函数在R上满足，则曲线在点处的切线方程是　　　　　 ．

4． 定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ，则f(2009)的值为　　　　　 ．

3．已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,则(　　　 )

A．　　　　　 B．

C． 　　　　　D．

2． 定义在R上的偶函数的部分图象如右图所示，则在上，下列函数中与的单调性不同的是(　　 )

A．　　 B．

C． 　　D．

1．函数的图象(　　 )

　 A． 关于原点对称　　　　　　　　　　 B．关于主线对称

　 C． 关于轴对称　　　　　　　　　　 D．关于直线对称

4．导数与单调性、极(最)值问题．

导数作为工具来研究三次函数、指数函数、对数函数的单调性，极值、最值时，具有其独特的优越性，要理解导数的几何意义，熟练导数的运算公式，善于借助导数解决有关的问题．

例4．已知函数，其中．

(1)当满足什么条件时，取得极值?

(2)已知，且在区间上单调递增，试用表示出的取值范围．

解析： (1)由已知得，令，得，

要取得极值，方程必须有解，

所以△，即，　 此时方程的根为：

，，

所以 w．w．w．k．s．5．u．c．o．m　　

当时，

所以在x ₁， x₂处分别取得极大值和极小值．

当时，

所以在x ₁， x₂处分别取得极大值和极小值．

综上，当满足时，取得极值．

(2)要使在区间上单调递增，需使在上恒成立．

即恒成立，所以，

设，，

令得或(舍去)，

当时，，当时，单调增函数；

当时，单调减函数，

所以当时，取得最大，最大值为．

所以．

当时，，此时在区间恒成立，

所以在区间上单调递增，

当时最大，最大值为，所以．

综上，当时， ；当时， ．

点评：本题为三次函数，利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值，函数在区间上为单调函数，则导函数在该区间上的符号确定，从而转为不等式恒成立，再转为函数研究最值．运用函数与方程的思想，化归思想和分类讨论的思想解答问题．

[思想方法]

[例1]若是方程的解，是 的解，则的值为(　　 )

A． 　　　B．　 　C．　 　　D．

[解析]作出的图象，交点横坐标为，而．

[答案]C

[点评]该题考查了指数函数、对数函数的图象及性质．综合了函数的图象、方程的解及曲线的交点等问题．指数函数、对数函数是两类重要的基本初等函数， 高考中以它们为载体的函数综合题既考查双基， 又考查对蕴含其中的函数思想、等价转化、分类讨论等思想方法的理解与运用．

[例2]若函数f(x)=a-x-a(a>0且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是　　　 ．

[解析]设函数且和函数，则函数f(x)=a-x-a(a>0且a1)有两个零点， 就是函数且与函数有两个交点，由图象可知当时两函数只有一个交点，不符合，当时，因为函数的图象过点(0，1)，而直线所过的点一定在点(0，1)的上方，所以一定有两个交点．所以实数a的取值范围是．

[答案]

[点评]本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系，隐含着对指数函数的性质的考查，根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象解答．体现了对分类讨论思想的考查，分类讨论时，要注意该分类时才分类，讨论务必要全面．

[例3]已知偶函数在区间单调增加，则满足＜的x 取值范围是(　　 )

(A)(，)　　 (B) ［，)　　 (C)(，)　　 (D) ［，)

[解析]由于f(x)是偶函数，故f(x)＝f(|x|)， ∴得f(|2x－1|)＜f()，再根据f(x)的单调性，得|2x－1|＜，解得＜x＜．

[答案]B

[点评]该题的关键是将含有函数符号的不等式转化为普通的不等式，体现的对转化思想的考查，同时还综合考查了函数的性质，而该题的转化的依据就是函数的奇偶性和单调性．考题中通过这种形式来考查函数的性质与方程、不等式等的综合不但是一个热点，而且成了一个固定的必考题型．

[专题演练]

3．函数的实际应用

函数的实际运用主要是指运用函数的知识、思想和方法综合解决问题．函数描述了自然界中量的依存关系，是对问题本身的数量本质特征和制约关系的一种刻画，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系．掌握有关函数知识是运用函数思想的前提，考生应具备用初等数学思想方法研究函数的能力，运用函数思想解决有关数学问题的意识是运用函数思想的关键．

例3．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x10)层，则每平方米的 平均建筑费用为560+48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？

(注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=)

解析：设楼房每平方米的平均综合费为元，依题意得：

．

则，令，即，解得．

当时，；当时，，

因此，当时，取得最小值，元．

答：为了使楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层．

点评：这是一题应用题，利用函数与导数的知识来解决问题．利用导数，求函数的单调性、求函数值域或最值是一种常用的方法．