2.(2009年广东理19)(本小题满分14分)

已知曲线与直线交于两点和，且．记曲线在点和点之间那一段与线段所围成的平面区域(含边界)为．设点是上的任一点，且点与点和点均不重合．

(1)若点是线段的中点，试求线段的中点的轨迹方程；　　　　　

(2)若曲线与有公共点，试求的最小值．

解：(1)联立与得，则中点，设线段的中点坐标为，则，即，又点在曲线上，

∴化简可得，又点是上的任一点，且不与点和点重合，则，即，∴中点的轨迹方程为().

(2)曲线，即圆：，其圆心坐标为，半径由图可知，当时，曲线与点有公共点；当时，要使曲线与点有公共点，只需圆心到直线的距离，得，则的最小值为.

1.(2009年江苏22)(本题满分10分)

在平面直角坐标系中，抛物线C的顶点在原点，经过点A(2，2)，其焦点F在轴上。

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程；

(3)设过点的直线交抛物线C于D、E两点，ME=2DM，记D和E两点间的距离为，求关于的表达式。

[解析] 本小题主要考查直线、抛物线及两点间的距离公式等基本知识，考查运算求解能力。满分10分。

7．(2007年广东理11)在直角坐标系xOy中,有一定点A(2，1)。若线段OA的垂直平分线过抛物线的焦点，则该抛物线的准线方程是______;

答案：;解析：OA的垂直平分线的方程是y-，令y=0得到x=;

6.(2007年山东理13)设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，与轴正向的夹角为，则为________.

[答案]: [分析]：过A 作轴于D，令，则，，。

5.(2009年福建理13)过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则________________ 　 　　　　　　　　　　　　　　　　

[答案]：2解析：由题意可知过焦点的直线方程为，联立有，又。

4.(2009年海南理13)设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点。若AB的中点为(2，2)，则直线的方程为_____________.

答案：y=x解析：抛物线的方程为　　　　　　　　　　　　　　　　 ，

3.(2010年上海理3) 动点到点的距离与它到直线的距离相等，则的轨迹方程为　　　　　 。

解析：考查抛物线定义及标准方程

定义知的轨迹是以为焦点的抛物线，p=2所以其方程为y²=8x

2.(2010年浙江理13)设抛物线的焦点为，点.若线段的中点在抛物线上，则到该抛物线准线的距离为_____________。

解析：利用抛物线的定义结合题设条件可得出p的值为，B点坐标为()所以点B到抛物线准线的距离为，本题主要考察抛物线的定义及几何性质，属容易题

1.(2010年湖南理14)过抛物线的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于两点，在轴上的正射影分别为．若梯形的面积为，则　　　 ．

[答案]2

6.(2007年海南理6)已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且， 则有(　)

A．　　　　　　 B．

C．　　　　 D．

[答案]：C[分析]：由抛物线定义，即：