5．函数的值域是_____________［］

　(2006安徽)设，对于函数，下列结论正确的是(　 )

A．有最大值而无最小值　 　　　　 B．有最小值而无最大值

C．有最大值且有最小值 　 　　　　 D．既无最大值又无最小值

[例1] 试求函数y=sinx+cosx+2sinxcosx+2的最大值和最小值，若x∈［0，］呢？

剖析：注意sinx+cosx与sinx·cosx之间的关系，进行换元可将原函数转化成一元二次函数来解.

解：令t=sinx+cosx=sin(x+)∈［－，］，则y=t²+t+1∈［，3+］，即最大值为3+，最小值为.当x∈［0，］时，则t∈［1，］，此时y的最大值是3+，而最小值是3.

评述：此题考查的是换元法，转化思想，在换元时要注意变量的取值范围.

(2006广东15)已知函数

(Ⅰ)求的最小正周期；

(Ⅱ)求的最大值和最小值；

(Ⅲ)若，求的值　

解：

(Ⅰ)的最小正周期为;

(Ⅱ)的最大值为和最小值；

(Ⅲ)因为，即,即

(2006春上海19) 已知函数.

(1)若，求函数的值；　　 (2)求函数的值域.

10.已知函数(a∈(0，1))，求f(x)的最值，并讨论周期性，奇偶性，单调性。

解:三角函数式降幂

∴ f(x)=　 令

则 y=a^u　 ∴ 0<a<1 y=a^u是减函数

∴ 由得，此为f(x)的减区间

由得，此为f(x)增区间

∵ u(-x)=u(x)　 ∴ f(x)=f(-x), f(x)为偶函数

∵ u(x+π)=f(x), ∴ f(x+π)=f(x)

∴ f(x)为周期函数，最小正周期为π

当x=kπ(k∈Z)时，y_min=1

当x=kπ+(k∈Z)时，y_nax=

[探索题]函数f(x)=1－2a－2acosx－2sin²x的最小值为g(a)，a∈R，

(1)求g(a)；

(2)若g(a)=，求a及此时f(x)的最大值.

解：(1)f(x)=1－2a－2acosx－2(1－cos²x)

=2cos²x－2acosx－1－2a

=2(cosx－)²－－2a－1.

若＜－1，即a＜－2，则当cosx=－1时，

f(x)有最小值g(a)=2(－1－)²－－2a－1=1；

若－1≤≤1，即－2≤a≤2，则当cosx=时，f(x)有最小值g(a)=－－2a－1；

若＞1，即a＞2，则当cosx=1时，f(x)有最小值g(a)=2(1－)²－－2a－1=1－4a.

∴g(a)=

(2)若g(a)=，由所求g(a)的解析式知只能是－－2a－1=或1－4a=.

由a=－1或a=－3(舍).

由a=(舍).

此时f(x)=2(cosx+)²+，得f(x)_max=5.

∴若g(a)=，应a=－1，此时f(x)的最大值是5.

备选题

9. (2006陕西)已知函数f(x)=sin(2x－)+2sin²(x－) (x∈R)

(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期 ;　 (2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合

　 解:(Ⅰ) f(x)=sin(2x－)+1－cos2(x－)

　　　　　 = 2[sin2(x－)－ cos2(x－)]+1

　　　　 =2sin[2(x－)－]+1

　　　　 = 2sin(2x－) +1　

∴ T==π

　 (Ⅱ)当f(x)取最大值时， sin(2x－)=1，有　 2x－ =2kπ+

即x=kπ+ 　 (k∈Z)　 ∴所求x的集合为{x∈R|x= kπ+ ，　 (k∈Z)}

8.(2005浙江)已知函数f(x)＝－sin²x+sinxcosx．

　(Ⅰ) 求f()的值；

　　 (Ⅱ) 设∈(0，)，f()＝－，求sin的值．

解：(Ⅰ)

　　 (Ⅱ)

　　　　 　　解得

7.设，若方程有两解，求的取值范围。

解：设，

要使两函数图象有交点,由图可知。

6.4R.

[解答题]

6. 半径为R的圆的内接矩形周长的最大值等于__________.

◆练习简答：1-4：BBCC；5. 令t=sinx+cosx，则y=最小值

5.函数的最小值等于________。

4.(全国卷Ⅱ)函数f(x)=|sinx+cosx|的最小正周期是　　　　　　　　 　　　　 (　 )

　　　 A．　　 B．　　 C．π　　 D．2π

[填空题]

3.(2006辽宁)函数,的值域是 (　 )

(A)　　　　 (B) 　　　　 (C) 　　　　 (D)