(一)选择题：

1、(07陕西)抛物线的准线方程是(　　 )

A、　　　　　　 B、　　　　　　　 C、　　　　　　 D、

2、(07海南)已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且，则有(　)

A、　　　　　　 B、

C、　　　　 D、

3、(07全国Ⅰ11)抛物线的焦点为，准线为，经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点，，垂足为，则的面积是(　)

A、　　　　　　 B、　　　　　　　 C、　　　　　　　　　　 D、

4、(06四川)直线与抛物线交于两点，过两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，则梯形的面积为(　 )

A、48.　　　　　　 B、56 　　　　　C、64　　　　　　 D、72

5、(06江西)设为坐标原点，为抛物线的焦点，是抛物线上一点，若，则点的坐标是(　 )

A、(2，±2)　　 B、 (1，±2)　　 C、(1，2)　　 D、(2，2)

6、(05上海)过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线(　 )

A、有且仅有一条　　 B、有且仅有两条　　　 C、有无穷多条　　　 D、不存在

7、(05江苏)抛物线上的一点到焦点的距离为1，则点的纵坐标是(　 )

A、　　 B、　　 C、　　 D、0

例1、(08上海春)在平面直角坐标系中，分别为直线与轴的交点，为的中点. 若抛物线过点，求焦点到直线的距离。

例2、(07山东)设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，与轴正向的夹角为，则为　　　　　　 ；

例3、(07全国Ⅱ12)设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点，若，则(　　 )

A、9　　　　　　　　　　 B、6　　　　　　　　　　 C、4　　　　　　　　　　 D、3

例4、(07湖北19)在平面直角坐标系中，过定点作直线与抛物线()相交于两点。

(I)若点是点关于坐标原点的对称点，求面积的最小值；

(II)是否存在垂直于轴的直线，使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由。

例5、(05全国Ⅲ21)设，两点在抛物线上，是的垂直平分线。(Ⅰ)当且仅当取何值时，直线经过抛物线的焦点？证明你的结论；(Ⅱ)当直线的斜率为2时，求在轴上截距的取值范围。

解：(Ⅰ)两点到抛物线的准线的距离相等，

　　　　　 ∵抛物线的准线是轴的平行线，，依题意不同时为0

∴上述条件等价于

∵

∴上述条件等价于

即当且仅当时，经过抛物线的焦点。

(Ⅱ)设在轴上的截距为，依题意得的方程为；过点的直线方程可写为，所以满足方程

　　　　 得

　 为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式，即

设的中点的坐标为，则

，

由，得，于是

即得在轴上截距的取值范围为。

例6、(05天津21)抛物线C的方程为，过抛物线上一点 　()作斜率为的两条直线分别交抛物线于，两点(三点互不相同)，且满足(≠0且)。

(Ⅰ)求抛物线的焦点坐标和准线方程；

(Ⅱ)设直线上一点，满足，证明线段的中点在轴上；

(Ⅲ)当时，若点的坐标为(1，1)，求为钝角时点的纵坐标的取值范围。

解：(I)由抛物线的方程得，焦点坐标为()，准线方程为

(II)证明：设直线PA的方程为，直线PB的方程为

点和点的坐标是方程组的解

将代入得：

由韦达定理： ①

同理：，又因为，所以 　②

设点的坐标为，由，得　 ③

将 ② 代入 ③ 得：

即：。所以，线段的中点在轴上

(III)解：因为点P(1，1)在抛物线上，所以，抛物线的方程为。

由 ① 得：，代入得

将代入 ② ，得，代入得

因此，直线PA、PB分别与抛物线C的交点A、B的坐标为

于是：，

因为为钝角且P、A、B三点互不相同，故必有，即

解得的范围为：或

又点A的纵坐标满足，故

当时，

当时，

所以，为钝角时，点A的纵坐标的取值范围是。

(三)解答题：

7、(07江西21)设动点到点和的距离分别为和，，且存在常数，使得．

(1)证明：动点的轨迹为双曲线，并求出的方程；

(2)过点作直线双曲线的右支于两点，试确定的范围，使，其中点为坐标原点．

解法一：(1)在中，，即，

，即(常数)，

点的轨迹是以为焦点，实轴长的双曲线．

方程为：．

(2)设，

①当垂直于轴时，的方程为，，在双曲线上．

即，因为，所以．

②当不垂直于轴时，设的方程为．

由得：，

由题意知：，

所以，．

于是：．

因为，且在双曲线右支上，所以

．

由①②知，．

解法二：(1)同解法一

(2)设，，的中点为．

①当时，，

因为，所以；

②当时，．

又．所以；

由得，由第二定义得

．

所以．

于是由得

因为，所以，又，

解得：．由①②知．

8、(07上海21)我们把由半椭圆 与半椭圆 合成的曲线称作“果圆”，其中，，．如图，点，，是相应椭圆的焦点，，和，分别是“果圆”与，轴的交点．

(1)若是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；

(2)当时，求的取值范围；

(3)连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”

的弦．试研究：是否存在实数，使斜率为的“果圆”

平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，求出所有可能的值；若不存在，说明理由．

解：(1) ，

，

　　 于是，所求“果圆”方程为

　　 ，．　 　　　　　　　　　

(2)由题意，得　 ，即．

　　　　 ，，得．　

　　 又．　 ．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　 (3)设“果圆”的方程为，．

　　 记平行弦的斜率为．

当时，直线与半椭圆的交点是

，与半椭圆的交点是．

　的中点满足 　

得 ．　

　　 　， ．

　　 综上所述，当时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上．　

　　 当时，以为斜率过的直线与半椭圆的交点是．　

　　 由此，在直线右侧，以为斜率的平行弦的中点轨迹在直线上，即不在某一椭圆上． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　 当时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上．　

9、(06湖南21)已知椭圆, 抛物线, 且的公共弦过椭圆的右焦点。(Ⅰ) 当轴时, 求的值, 并判断抛物线的焦点是否在直线上；(Ⅱ) 是否存在的值, 使抛物线的焦点恰在直线上? 若存在, 求出符合条件的的值; 若不存在, 请说明理由。

解：(Ⅰ)当AB⊥x轴时，点A、B关于x轴对称，所以m＝0，直线AB的方程为：

　　 　　 x =1，从而点A的坐标为(1，)或(1，－).　 因为点A在抛物线上.

所以，即.此时C₂的焦点坐标为(，0)，该焦点不在直线AB上.

(II)解法一： 假设存在、的值使的焦点恰在直线AB上，由(I)知直线AB

的斜率存在，故可设直线AB的方程为．

由消去得………………①

设A、B的坐标分别为(x₁,y₁), (x₂,y₂),　

则x₁,x₂是方程①的两根，x₁+x₂＝.

　由　

消去y得. 　　　　　………………②

因为C₂的焦点在直线上，

所以，即.代入②有.

即.　　　　　　　　　　　 　　 …………………③

由于x₁,x₂也是方程③的两根，所以x₁+x₂＝.

从而＝. 解得　　……………………④

又AB过C_{1、、＼、、}C₂的焦点，所以

，

则　　 …………………………………⑤

由④、⑤式得，即．

解得于是

因为C₂的焦点在直线上，所以.

　或．

由上知，满足条件的、存在，且或，．

解法二：　　　 设A、B的坐标分别为，．

　　因为AB既过C₁的右焦点，又过C₂的焦点，

所以.

即.　　　　 　 ……①

由(Ⅰ)知，于是直线AB的斜率， ……②

且直线AB的方程是,

所以.　　　　 ……③

又因为，所以.　　 ……④

将①、②、③代入④得．　……………⑤

　因为，所以．　…………⑥

将②、③代入⑥得　……………⑦

由⑤、⑦得即

解得．将代入⑤得

　　或．

由上知，满足条件的、存在，且或，

(二)填空题：

5、(05江西16)以下同个关于圆锥曲线的命题中

①设为两个定点，为非零常数，，则动点的轨迹为双曲线；

②设定圆上一定点作圆的动点弦，为坐标原点，若则动点的轨迹为椭圆；

③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；

④双曲线(椭圆)有相同的焦点。其中真命题的序号为

　　　　　　　　 (写出所有真命题的序号)

6、(04山东16)设为曲线上的一个动点，则点到点(0,1)的距离与点到轴的距离之和的最小值为_________。

(一)选择题：

1、(06安徽)若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为

A、　　　　　　 B、　　　　　 C、　　　　　　 D、

2、(06江西)是双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值为(　 )

A、6　　　　　 B、7 　　　　　C、8　　　　 D、9

3、(05湖北)双曲线离心率为2，有一个焦点与抛物线的焦点重合，则的值为(　　 )

　 A、　　　　　　　　　　　 B、　　　　　　　　　　　 C、　　　　　　　　　　 D、

4、(05天津)设双曲线以椭圆长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为(　　 )

A、　　　　　　 　B、　　　　　 C、　　　　　 D、

例1、(07天津22)设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，，原点到直线的距离为．

(Ⅰ)证明；

(Ⅱ)设为椭圆上的两个动点，，过原点作直线的垂线，垂足为，求点的轨迹方程．

(Ⅰ)证法一：由题设及，，不妨设点，其中．由于点在椭圆上，有，即．

解得，从而得到．

直线的方程为，整理得．

由题设，原点到直线的距离为，即，

将代入上式并化简得，即．

证法二：同证法一，得到点的坐标为．

过点作，垂足为，易知，故．

由椭圆定义得，又，

所以，

解得，而，得，即．

(Ⅱ)解法一：设点的坐标为．

当时，由知，直线的斜率为，所以直线的方程为，或，其中，．

点的坐标满足方程组

将①式代入②式，得，

整理得，

于是，．

由①式得

．

由知．将③式和④式代入得，

．

将代入上式，整理得．

当时，直线的方程为，的坐标满足方程组

所以，．

由知，即，

解得．

这时，点的坐标仍满足．

综上，点的轨迹方程为　．

解法二：设点的坐标为，直线的方程为，由，垂足为，可知直线的方程为．

记(显然)，点的坐标满足方程组

由①式得．　　　③

由②式得．　　④

将③式代入④式得．

整理得，

于是．　　⑤

由①式得．　　⑥

由②式得．　⑦

将⑥式代入⑦式得，

整理得，

于是．　　⑧

由知．将⑤式和⑧式代入得，

．

将代入上式，得．

所以，点的轨迹方程为．

例2、(06重庆22)已知一列椭圆：，，若椭圆上有一点使到右准线的距离是｜与的等差中项，其中分别是的左、右焦点。

(Ⅰ)试证：　　　　 　；

(Ⅱ)取，并用表示的面积，试证：且。

图(22)

证：(1)由题设及椭圆的几何性质有

　　　　 设

　　　　　

因此，由题意应满足

即

即,

从而对任意

(Ⅱ)设点

　　　　　　　

　　　　　　　

得两极，从而易知f(c)在(，)内是增函数，而在(，1)内是减函数.

现在由题设取是增数列.又易知

　　

故由前已证，知

例3、(05山东22))已知动圆过定点，且与直线相切，其中。(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹的方程；(Ⅱ)设是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且为定值时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标。

解：(I)如图，设为动圆圆心，记为，过点作直线的垂线，垂足为，由题意知：即动点到定点与定直线的距离相等

由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线

∴轨迹方程为；

(II)如图，设，由题意得(否则)且

∴直线的斜率存在，设其方程为

显然

将与联立消去，得

由韦达定理知　 ①

(1)当时，即时，

∴，

∴

由①知：

∴

因此直线的方程可表示为，即

∴直线恒过定点

(2)当时，由，得==

将①式代入上式整理化简可得：，则，

此时，直线的方程可表示为即

∴直线恒过定点

综上，由(1)(2)知，当时，直线恒过定点，当时直线恒过定点.

例4、(05北京18)如图，直线：与直线：之间的阴影区域(不含边界)记为W，其左半部分记为，右半部分记为。(Ⅰ)分别用不等式组表示和；(Ⅱ)若区域中的动点到，的距离之积等于，求点的轨迹的方程；(Ⅲ)设不过原点的直线与(Ⅱ)中的曲线相交于两点，且与，分别交于两点. 求证的重心与的重心重合。

　

[答案]

[详解]

解：(I)

(II)直线直线,由题意得

　　　

　　　 即

　　　 由知

　　　 所以即

　　　 所以动点P的轨迹方程为

(III)当直线与轴垂直时,可设直线的方程为由于直线、曲线C关于轴对称,

　　　 且与关于轴对称,于是的中点坐标都为,所以

　　　 的重心坐标都为,即它们的重心重合.

　　　 当直线与轴不垂直时,设直线的方程为

　　　 由,得

　　　 由直线　与曲线C有两个不同交点,可知,且

　　　

　　　 设的坐标分别为

　　　 则

　　　 设的坐标分别为

　　　 由

　　　 从而

　　　 所以

　　　 所以

　　　 于是的重心与的重心也重合.

[名师指津]

　　　 本题为解析几何的综合题型,在高考试题中解析经常会与函数、数列、不等式、向量等综合考查各种数学思想及方法。

(三)解答题：

9、(07湖南20)已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的动直线与双曲线相交于两点。

(I)若动点满足(其中为坐标原点)，求点的轨迹方程；

(II)在轴上是否存在定点，使·为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。

解：由条件知，，设，．

解法一：(I)设，则则，，

，由得

即

于是的中点坐标为．

当不与轴垂直时，，即．

又因为两点在双曲线上，所以，，两式相减得

，即．

将代入上式，化简得．

当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．

所以点的轨迹方程是．

(II)假设在轴上存在定点，使为常数．

当不与轴垂直时，设直线的方程是．

代入有．

则是上述方程的两个实根，所以，，

于是

．

因为是与无关的常数，所以，即，此时=．

当与轴垂直时，点的坐标可分别设为，，

此时．

故在轴上存在定点，使为常数．

解法二：(I)同解法一的(I)有

当不与轴垂直时，设直线的方程是．

代入有．

则是上述方程的两个实根，所以．

．

由①②③得．…………………………………………………④

．……………………………………………………………………⑤

当时，，由④⑤得，，将其代入⑤有

．整理得．

当时，点的坐标为，满足上述方程．

当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．

故点的轨迹方程是．

(II)假设在轴上存在定点点，使为常数，

当不与轴垂直时，由(I)有，．

以上同解法一的(II)．

(二)填空题：

7、(05浙江)过双曲线(a＞0，b＞0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于_________；

8、(05上海)若双曲线的渐近线方程为，它的一个焦点是，则双曲线的方程是__________。

(一)选择题：

1、(07全国Ⅱ)设分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点，使且，则双曲线的离心率为(　　 )

A、　　　　　　　　 B、　　　　　　　 C、　　　　　　　 D、

2、(07安徽)如图，和分别是双曲线

的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与

该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则双

曲线的离心率为(　　 )

07安徽

A、　　　　 B、　 　　 C、　　　　 D、

3、(07江苏)在平面直角坐标系中，双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，一条渐近线的方程为，则它的离心率为(　)

A、　　　　 B、　　　　　　　 C、　　　　 D、

4、(07陕西)已知双曲线(，)，以的右焦点为圆心且与的渐近线相切的圆的半径是(　　 )

A、　　　　　　　 B、　　　　　　　 C、　　　　　　 D、

5、(06福建10)已知双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是

A、　　B、　　C、　　D、

6、(05全国Ⅱ)已知双曲线的焦点为、，点在双曲线上且轴，则到直线的距离为(　 )A、　　　 B、　　　 C、　　　　 D、

例1、(08上海春) 已知是双曲线右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为。设分别为双曲线的左、右焦点. 若，则　　　　　 ；

例2、(07海南) 已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为　　　；

例3、(07辽宁) 设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为(　　 )

A、　　　　　　　 B、　　　　　 C、　　　　　　 D、

例4、(05全国Ⅲ) 已知双曲线的焦点为，点在双曲线上且

，则点到轴的距离为(　 )

A 、　　　 　B 、　　　 　　　　C、 　　　　　　D、

例5、(06山东21) 双曲线与椭圆有相同的热点，直线=为C的一条渐近线。(1)求双曲线C的方程；(2)过点(0,4)的直线l，求双曲线于两点，交轴于点(点与的顶点不重合)。当 =，且时，求点的坐标。

解：(Ⅰ)设双曲线方程为，　 由椭圆

求得两焦点为，对于双曲线，又为双曲线的一条渐近线

　 解得 ，

双曲线的方程为

(Ⅱ)解法一：

由题意知直线的斜率存在且不等于零。

设的方程：，

则

在双曲线上，

同理有：

若则直线过顶点，不合题意.

是二次方程的两根.

，

此时.

所求的坐标为.

解法二：

由题意知直线的斜率存在且不等于零

设的方程，，则.

，

分的比为.

由定比分点坐标公式得

下同解法一

解法三：

由题意知直线的斜率存在且不等于零

设的方程：，则.

，

.

，

，，

又，

即

将代入得

，否则与渐近线平行。

。

解法四：

由题意知直线l得斜率k存在且不等于零，设的方程：，

则

,

。

同理　　　

.

即　　 。　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (*)

又　　

消去y得.

当时，则直线l与双曲线得渐近线平行，不合题意，。

由韦达定理有：

代入(*)式得　　

所求Q点的坐标为。

例6、(04广东20)某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上)。

解：如图，以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A(－1020，0)，B(1020，0)，C(0，1020)

设P(x,y)为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得|PA|=|PB|，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=－x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，故|PB|－ |PA|=340×4=1360

由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上，

依题意得a=680, c=1020，

用y=－x代入上式，得，∵|PB|>|PA|,

答：巨响发生在接报中心的西偏北45⁰距中心处。