4.=(2,3),=(-2,4),则(+)·(-)=　　　　 .

3.已知=(4,3),向量是垂直的单位向量，则等于(　　 )

　A.或?　　　　 B.或?　

?C.或?　　 D.或?

2.已知(1,2),(2,3),(-2,5)，则△为(　　 )

　 A.直角三角形　　 B.锐角三角形　 C.钝角三角形　 D.不等边三角形

1.若=(-4,3),=(5,6),则3||²－4＝(　　 )　

　A.23　　　　　 ?B.57　　　　　 ?C.63　　　　 ?D.83

例1　 设 = (5, -7)， = (-6, -4)，求×

解： = 5×(-6) + (-7)×(-4) = -30 + 28 = -2

例2 已知(1, 2)，(2, 3)，(-2, 5)，求证：△ABC是直角三角形

证明：∵=(2-1, 3-2) = (1, 1),　 = (-2-1, 5-2) = (-3, 3)

∴×=1×(-3) + 1×3 = 0　 ∴^

∴△ABC是直角三角形

例3 已知 = (3, -1)， = (1, 2)，求满足× = 9与× = -4的向量

　解：设= (t, s)，

　 由　 ∴= (2, -3)

例4 已知＝(1，)，＝(+1，－1)，则与的夹角是多少?

分析：为求与夹角，需先求及｜｜·｜｜，再结合夹角θ的范围确定其值.

解：由＝(1，)，＝(+1，－1)

有·＝+1+(－1)＝4，｜｜＝2，｜｜＝2．

记与的夹角为θ，则cosθ＝

又∵0≤θ≤π，∴θ＝

评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.

例5 如图，以原点和A (5, 2)为顶点作等腰直角△ABC，使Ð = 90°，求点和向量的坐标

解：设点坐标(x, y)，则= (x, y)，= (x-5, y-2)

∵^　 ∴x(x-5) + y(y-2) = 0即：x² + y² -5x - 2y = 0

又∵|| = ||　 ∴x² + y² = (x-5)² + (y-2)²即：10x + 4y = 29

由

∴点坐标或；=或

例6 在△ABC中，=(2, 3)，=(1, k)，且△ABC的一个内角为直角，

　　 求k值

解：当 = 90°时，×= 0，∴2×1 +3×k = 0　 ∴k =　

当 = 90°时，×= 0，=-= (1-2, k-3) = (-1, k-3)

∴2×(-1) +3×(k-3) = 0　 ∴k =　

当C= 90°时，×= 0，∴-1 + k(k-3) = 0　 ∴k =

4.两向量夹角的余弦()　 　

cosq =

3.向量垂直的判定

设，，则

⒈平面两向量数量积的坐标表示

已知两个非零向量，，试用和的坐标表示

设是轴上的单位向量，是轴上的单位向量，那么

，

所以

又，，

所以

这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和

即

2.平面内两点间的距离公式

(1)设，则或

(2)如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式)

5． 平面向量数量积的运算律

交换律： × 　= 　×

数乘结合律：()× =(×) = ×()

分配律：( + )× = × + ×

4．两个向量的数量积的性质：

设、为两个非零向量，是与同向的单位向量

1°× = × =||cosq；2°^ Û × = 0

3°当与同向时，× = ||||；当与反向时，× = -||||

　特别的× = ||²或

4°cosq = ；5°|×| ≤ ||||