6.设f(x)定义在R上的偶函数，且，又当x∈(0，3]时，f(x)=2x，则f(2007)=　　　　 。

答案提示：1、A；由f()=f(－+T)=f(－)=－f()，知f()=0.(或取特殊函数f(x)=sinx)

5.对任意x∈R，f(x)=f(x-1)+f(x+1)且f(0)=6,f(4)=3,则f(69)=　　

4.已知函数f(x)是偶函数，且等式f(4+x)＝f(4-x)，对一切实数x成立，写出f(x)的一个最小正周　　　

3.设是定义在上，以2为周期的周期函数，且为偶函数，在区间[2，3]上，=,则=　　　　　

2.(2004天津)定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数.若f(x)的最小正周期是π，且当x∈［0，］时，f(x)=sinx，则f()的值为

A.－　 　 　　 B.　　　　　　　　　　　　　　 C.－　　　　　　　 D.

[填空题]

1.f(x)是定义在R上的奇函数，它的最小正周期为T，则f(－)的值为

A.0　　　　　　　　 B.　　　　　　　 C.T　　　　　　　　 D.－

3.函数的周期性与图象的对称性之间的关系;

同步练习　　　 2．7 函数的周期性

[选择题]

2.用周期的定义求函数的周期;

1.函数的周期性及有关概念;

2.注意既得关系式的连续使用.

[例3]若函数在R上是奇函数，且在上是增函数，且.

①求的周期；

②证明f(x)的图象关于点(2k,0) 中心对称;关于直线x=2k+1轴对称, (k∈Z );

③讨论f(x)在(1,2)上的单调性；

解: ①由已知f(x)=－f(x+2)=f(x+2+2)=f(x+4),故周期T=4.

②设P(x,y)是图象上任意一点,则y=f(x),且P关于点(2k,0)对称的点为P₁(4k-x,-y).P关于直线x=2k+1对称的点为P₂(4k+2-x,y).

∵f(4k-x)=f(-x)=-f(x)=-y,∴点P₁在图象上,图象关于点(2k,0)对称.

又f(x)是奇函数,f(x+2)=-f(x)=f(-x)

∴f(4k+2-x)=f(2-x)=f(x)=y, ∴点P₂在图象上,图象关于直线2k+1对称.

③设1<x₁<x₂<2,则-2<-x₂<-x₁<-1, 0<2-x₂<2-x₁<1.

∵f(x)在(-1,0)上递增, 　∴f(2-x₁)<f(2-x₂)……(*)

又f(x+2)=-f(x)=f(-x)　 ∴f(2-x₁)=f(x₁), f(2-x₂)=f(x₂).

(*)为f(x₂)<f(x₁),f(x)在(1,2)上是减函数.

提炼方法：总结解周期性、单调性及图象对称性的方法。

[研究.欣赏]已知函数y=f(x)是定义在R上的周期函数，周期T=5，函数y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数.又知y=f(x)在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x=2时函数取得最小值-5.

①　　　　 证明：；②求的解析式；

③求在上的解析式.

解：∵是以为周期的周期函数，且在[-1,1]上是奇函数，∴，∴.

②当时，由题意可设，

由得，∴，

∴.

③∵是奇函数，∴，

又知在上是一次函数，∴可设，而，

∴，∴当时，，

从而时，，故时，.

∴当时，有，∴.

当时，，

∴

∴.