函数思想的实质就是用联系与变化的观点提出数学对象，抽象数量特征，建立函数关系，求得问题的解决 纵观近几年高考题，考查函数思想方法尤其是应用题力度加大，因此一定要认识函数思想实质，强化应用意识

典型题例示范讲解

例1设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x₁、x₂∈［0,］,都有f(x₁+x₂)=f(x₁)·f(x₂),且f(1)=a>0　

(1)求f()、f();

(2)证明f(x)是周期函数；

(3)记a_n=f(2n+),求

命题意图　 本题主要考查函数概念，图象函数的奇偶性和周期性以及数列极限等知识，还考查运算能力和逻辑思维能力　

知识依托　 认真分析处理好各知识的相互联系，抓住条件f(x₁+x₂)＝

f(x₁)·f(x₂)找到问题的突破口　

错解分析　 不会利用f(x₁+x₂)=f(x₁)·f(x₂)进行合理变形　

技巧与方法　 由f(x₁+x₂)=f(x₁)·f(x₂)变形为是解决问题的关键　

(1)　　 解　 因为对x₁,x₂∈［0,］,都有f(x₁+x₂)=f(x₁)·f(x₂),所以f(x)=,　x∈［0,1］

又因为f(1)=f(+)=f()·f()=［f()］²

f()=f(+)=f()·f()=［f()］²

又f(1)=a>0

∴f()=a,　f()=a

(2)证明　 依题意设y=f(x)关于直线x=1对称，故f(x)=f(1+1－x),

即　f(x)=f(2－x),x∈R　

又由f(x)是偶函数知　f(－x)=f(x),x∈R

∴f(－x)=f(2－x),x∈R　

将上式中－x以x代换得f(x)=f(x+2)，这表明f(x)是R上的周期函数，且2是它的一个周期　

(3)解　 由(1)知f(x)≥0,x∈［0,1］

∵f()=f(n·)=f(+(n－1) )=f()·f((n－1)·)=……

=f()·f()·……·f()

=［f()］ⁿ=a

∴f()=a　

又∵f(x)的一个周期是2

∴f(2n+)=f(),　

∴a_n=f(2n+)=f()=a　

因此a_n=a

∴

例2甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速驶到乙地，速度不得超过c千米/小时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v(km/h)的平方成正比，比例系数为b,固定部分为a元　

(1)把全程运输成本y(元)表示为v(km/h)的函数，并指出这个函数的定义域；

(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？

命题意图　 本题考查建立函数的模型、不等式性质、最值等知识，还考查学生综合运用所学数学知识解决实际问题的能力　

知识依托　 运用建模、函数、数形结合、分类讨论等思想方法　

错解分析　 不会将实际问题抽象转化为具体的函数问题，易忽略对参变量的限制条件　

技巧与方法　 四步法　 (1)读题；(2)建模；(3)求解；(4)评价　

解法一　 (1)依题意知，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为,全程运输成本为y=a·+bv²·=S(+bv)

∴所求函数及其定义域为y=S(+bv),v∈(0,c　

(2)依题意知，S、a、b、v均为正数

∴S(+bv)≥2S　　　　　　　　　　　 ①

当且仅当=bv,即v=时，①式中等号成立　 　

若≤c则当v=时，有y_min＝2S；

若>c,则当v∈(0,c时，有S(+bv)－S(+bc)

=S［(－)+(bv－bc)］= (c－v)(a－bcv)

∵c－v≥0,且c>bc²,　∴a－bcv≥a－bc²>0

∴S(+bv)≥S(+bc),当且仅当v=c时等号成立，

也即当v=c时，有y_min ＝S(+bc)；

综上可知，为使全程运输成本y最小，当≤c时，行驶速度应为v=,　当>c时行驶速度应为v=c　

解法二　 (1)同解法一　

(2)∵函数y=S(+bv),　v∈(0,+∞),

当x∈(0, )时，y单调减小，

当x∈(,+∞)时y单调增加，

当x=时y取得最小值，而全程运输成本函数为y=Sb(v+),v∈(0,c 　

∴当≤c时，则当v=时，y最小，若>c时，则当v=c时，y最小　 结论同上　

例3　设函数f(x)的定义域为R，对任意实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时f(x)<0且f(3)=－4　

(1)求证　 f(x)为奇函数；

(2)在区间［－9，9］上，求f(x)的最值　

(1)证明　 令x=y=0,得f(0)=0

令y=－x,得f(0)=f(x)+f(－x),即f(－x)=－f(x)

∴f(x)是奇函数

(2)解　 1°,任取实数x₁、x₂∈［－9,9］且x₁＜x₂,这时，x₂－x₁>0,

f(x₁)－f(x₂)=f［(x₁－x₂)+x₂］－f(x₂)=f(x₁－x₂)+f(x₂)－f(x₁)=－f(x₂－x₁)

因为x>0时f(x)＜0,∴f(x₁)－f(x₂)>0

∴f(x)在［－9，9］上是减函数

故f(x)的最大值为f(－9),最小值为f(9)　

而f(9)=f(3+3+3)=3f(3)=－12,f(－9)=－f(9)=12　

∴f(x)在区间［－9，9］上的最大值为12，最小值为－12　

学生巩固练习

1　 函数y=x+a与y=log_ax的图象可能是(　　 )

2　 定义在区间(－∞,+∞)的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间［0，+∞)的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0,给出下列不等式　

①f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b)　 　②f(b)－f(－a)<g(a)－g(－b)　

③f(a)－f(－b)>g(b)－g(－a)　 　④f(a)－f(－b)<g(b)－g(－a)

其中成立的是(　　 )

A　 ①与④　　　　　　　　　 B　 ②与③　　　　　　　　　 C　 ①与③　　　　　　　　　 D　 ②与④

3　 若关于x的方程2^2x+2^xa+a+1=0有实根，则实数a的取值范围是____　

4　 设a为实数，函数f(x)=x²+|x－a|+1,x∈R　

(1)讨论f(x)的奇偶性；(2)求f(x)的最小值　

5　 设f(x)=　

(1)证明　 f(x)在其定义域上的单调性；

(2)证明　 方程f^-1(x)=0有惟一解；

(3)解不等式f［x(x－)］<　

6　 定义在(－1，1)上的函数f(x)满足①对任意x、y∈(－1,1),都有f(x)+f(y)=f();②当x∈(－1,0)时，有f(x)>0　

求证　 　

7　 某工厂拟建一座平面图(如下图)为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16米，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖)　

　(1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(米)的函数关系式，并指出其定义域　

(2)求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求最低总造价　

8　 已知函数f(x)在(－∞,0)∪(0,+∞)上有定义，且在(0,+∞)上是增函数，f(1)=0,又g(θ)=sin²θ－mcosθ－2m,θ∈［0,］,设M={m|g(θ)<0,m∈R},N={m|f［g(θ)］<0},求M∩N　

函数图象的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合，有效地揭示了各类函数和定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本属性，体现了数形结合的特征与方法，为此，既要从定形、定性、定理、定位各方面精确地观察图形、绘制图形，又要熟练地掌握函数图象的平移变换、对称变换　

所谓函数观点，实质是将问题放到动态背景上去加以考虑　 高考试题涉及5个方面　 (1)原始意义上的函数问题；(2)方程、不等式作为函数性质解决；(3)数列作为特殊的函数成为高考热点；(4)辅助函数法；(5)集合与映射，作为基本语言和工具出现在试题中　

概念是数学的基础，而函数是数学中最主要的概念之一，函数概念贯穿在中学代数的始终　 数、式、方程、函数、排列组合、数列极限等是以函数为中心的代数　 近十年来，高考试题中始终贯穿着函数及其性质这条主线　

4　 如图，在函数y=lgx的图象上有A、B、C三点，它们的横坐标分别为m,m+2,m+4(m>1)　

(1)若△ABC面积为S，求S=f(m);

(2)判断S=f(m)的增减性　

5　 如图，函数y=|x|在x∈［－1,1］的图象上有两点A、B，AB∥Ox轴，点M(1，m)(m∈R且m>)是△ABC的BC边的中点　

(1)写出用B点横坐标t表示△ABC面积S的函数解析式S=f(t);

(2)求函数S=f(t)的最大值，并求出相应的C点坐标　

6　 已知函数f(x)是y=－1(x∈R)的反函数，函数g(x)的图象与函数y=－的图象关于y轴对称，设F(x)=f(x)+g(x)　

(1)求函数F(x)的解析式及定义域；

(2)试问在函数F(x)的图象上是否存在两个不同的点A、B，使直线AB恰好与y轴垂直？若存在，求出A、B的坐标；若不存在，说明理由　

7　 已知函数f₁(x)=,f₂(x)=x+2,

(1)设y=f(x)=，试画出y=f(x)的图象并求y=f(x)的曲线绕x轴旋转一周所得几何体的表面积；

(2)若方程f₁(x+a)=f₂(x)有两个不等的实根，求实数a的范围　

(3)若f₁(x)>f₂(x－b)的解集为［－1，］，求b的值　

8　 设函数f(x)=x+的图象为C₁，C₁关于点A(2，1)对称的图象为C₂，C₂对应的函数为g(x)　

(1)求g(x)的解析表达式；

(2)若直线y=b与C₂只有一个交点，求b的值，并求出交点坐标；

(3)解不等式log_ag(x)<log_a (0<a<1)　

32. (1)S。　 (2)CH₄＜NH₃＜H₂O； 共价键和离子键； 离子晶体； 。

(3)CO₃^{2 －}+H₂OHCO₃^－ +OH^－ 或 C₂O₄^{2 －}+H₂OHC₂O₄^－ +OH^－。　　 (4)0.3 mol Na₂O₂、0.1 mol Na₂CO₃

31. (1)N≡N；；第四周期，第VIII族。　 (2)①③。　 (3)CH₄；NH₃；NH₃+H₃O⁺= NH₄⁺ +H₂O。

(4)3SO₂+3Ba²⁺+2H₂O+2NO₃^－　 = 3BaSO₄↓+2NO↑+4H⁺。 SO₂。

30.

(1)Mg　　 1s²2s²2p⁶ (2)离子　 2F₂+2H₂O=4HF+O₂

(3)b　 d(B是氧气或氮气)

(4)Na　 钠与水反应比镁与反应剧烈后氢扬化钠的碱性比氢氧化镁强(合理即给分)

29.

(1)第三周期　 ⅦA　　 (2)2Na+2H₂O=2NaOH+H₂↑　　 大于

(3)大　 SiO₂是原子晶体 或　 小　 CO₂是分子晶体　 (合理即给分)

(4)Cl 高氯酸的酸性大于硫酸的酸性或氯化氢稳定比硫化氢强(合理即给分)

28.

(1)S　 C

(2)V形　 直线形　 SO₂　 因为CO₂是非极性分子，SO₂和H₂O都是极性分子，根据“相似相溶”原理，SO₂在H₂O中的溶解度较大

(3)Cr　 四　 +6

(4)F-H…F　 F-H…O　 O-H…F　　 O-H…O