6．△ABC中，sinB·sinC＝cos²，则△ABC的形状为

(　)

A．直角三角形　 　　　　　　　 B．等边三角形

C．等腰三角形　 　　　　　　　 D．等腰直角三角形

解析：2sinB·sinC＝2cos²＝1+cosA＝1－cos(B+C)＝1－cosBcosC+sinBsinC，∴cosBcosC+sinBsinC＝1，

即cos(B－C)＝1，∴B－C＝0，即B＝C.

答案：C

5．已知|a|＝|b|＝1，a与b夹角是90°，c＝2a+3b，d＝ka－4b，c与d垂直，k的值为(　)

A．－6　 　　　　　　　　　　　　　 B．6

C．3　 　　　　　　　　　　　　　　　 D．－3

解析：∵c·d＝(2a+3b)·(ka－4b)

＝2k|a|²+(3k－8)a·b－12|b|²＝0，

又∵a·b＝0.∴2k－12＝0，k＝6.

答案：B

4．已知A(3，－6)、B(－5,2)、C(6，－9)，则A分的比λ等于

(　)

A.　 　　　　　　　　　　　　　　　　 B．－

C.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．－

解析：∵＝(8，－8)，＝(3，－3)．

与共线同向，

∴λ＝BA,\s\up6(→\s\up7(　＝.故选C.

答案：C

3．已知向量a、b满足|a|＝1，|b|＝2，|2a+b|＝2，则向量b在向量a方向上的投影是

(　)

A．－　 　　　　　　　　　　　　　 B．－1

C.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．1

解析：依题意得(2a+b)²＝4,4a²+b²+4a·b＝4,4+4+4a·b＝4，a·b＝－1，向量b在向量a方向上的投影等于＝－1，选B.

答案：B

2．如图1，已知＝a，＝b，＝3，用a，b表示，则等于

(　)

图1

A．a+b　 　　　　　　　　　　　　 B.a+b

C.a+b　 　　　　　　　　　　　　 D.a+b

解析：∵＝－＝b－a，＝3，

∴＝，

∴＝+＝a+b，故正确答案是B.

答案：B

1．(2009·重庆高考)已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)．若a+b与4b－2a平行，则实数x的值是

(　)

A．－2　　　　　 B．0

C．1　 　　　　　　　　　　　　　　　 D．2

解析：依题意得a+b＝(3，x+1),4b－2a＝(6,4x－2)，∵a+b与4b－2a平行，∴3(4x－2)＝6(x+1)，由此解得x＝2，选D.

答案：D

22．(14分)已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，一条经过点(3，－)且方向向量为a＝(－2，)的直线L交椭圆C于A、B两点交x轴于M点，又＝2.

(1)求直线L的方程；

(2)求椭圆C长轴长取值的范围．

解：(1)直线L过点(3，－)且方向向量a＝(－2，)

∴L的方程为：＝即y＝－(x－1)

(2)设直线y＝－(x－1)和椭圆+＝1

交于两点A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)和x轴交点M(1,0)，由＝2，知y₁＝－2y₂.

将x＝－y+1代入b²x²+a²y²＝a²b²中得

(b²+a²)y²－b²y+b²(1－a²)＝0

由韦达定理

∵有两交点，∴Δ＝(－b²)²－4(b²+a²)·b²(1－a²)>0，化简得：5a²+4b²>5　③

由①②消去y₂得：32b²＝(4b²+5a²)(a²－1)

即4b²＝>0　④

将④代入③得：5a²+>5　⑤

可求得1<a²<9又椭圆的焦点在x轴上，则a²>b²

∴4b²＝<4a²，综合解得：1<a²<

可求得：1<a<

∴所求椭圆长轴长2a的范围是(2，)．

21．(12分)神舟6号飞船返回仓顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回仓预计到达区域安排三个救援中心(记为A，B，C)，A在B的正东方向，相距6千米，C在B的北偏西30°，相距4千米，P为航天员着陆点，某一时刻，A接收到P的求救信号，由于B，C两地比A距P远，因此4秒后，B，C两个救援中心才同时接收到这一信号．已知该信号的传播速度为1千米/秒．

(1)求在A处发现P的方位角；

(2)若信号从P点的正上空Q点处发出，则A，B收到信号时间差变大还是变小，说明理由．

图5

解：(1)如图5，∵|PC|＝|PB|，∴P在线段BC的垂直平分线上，又∵|PB|－|PA|

＝4，∴P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，以AB中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则A(3,0)，B(－3,0)，C(－5,2)，

∴双曲线方程为－＝1，x>0，

BC的垂直平分线方程为x－y+7＝0，

联立两方程解得x＝8，

∴P(8,5)，k_PA＝tan∠PAx＝，∠PAx＝60°，

∴P点在A点的北偏东30°处．

图6

(2)如图6所示，

设|PQ|＝h，|PB|＝x，|PA|＝y，

∵－＝－＝(x－y)<x－y＝－.

故A，B收到信号时间差变小．

20．(12分)设抛物线过定点A(2,0)，且以直线x＝－2为准线．

(1)求抛物线顶点的轨迹C的方程；

(2)已知点B(0，－5)，轨迹C上是否存在满足·＝0的M、N两点？证明你的结论．

解：(1)设抛物线顶点为P(x，y)，则抛物线的焦点F(2x+2，y)，由抛物线定义，可得＝4.

∴+＝1.

∴轨迹C的方程为+＝1(x≠－2)．

(2)不存在．

设过点B(0，－5)，斜率为k的直线方程为y＝kx－5(斜率不存在时，显然不符合题意)，

由∴(4+k²)x²－10kx+9＝0.

由Δ≥0，得k²≥.

假设在轨迹C上存在两点M、N，令MB、NB的斜率分别为k₁、k₂，则|k₁|≥，|k₂|≥.

显然不可能满足k₁·k₂＝－1，

∴轨迹C上不存在满足·＝0的两点．

19．(12分)(2010·浙江温州八校联考)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)．

(1)求双曲线C的方程；

(2)若直线l：y＝kx+与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且·>2(其中O为原点)，求k的取值范围．

解：(1)设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．

由已知得a＝，c＝2，再由a²+b²＝2²，得b²＝1.

故双曲线C的方程为－y²＝1.

(2)将y＝kx+代入－y²＝1，

得(1－3k²)x²－6kx－9＝0.

由直线l与双曲线交于不同的两点得

即k²≠且k²<1.①

设A(x_A，y_A)，B(x_B，y_B)，则

x_A+x_B＝，x_Ax_B＝.

由·>2得x_Ax_B+y_Ay_B>2，

而x_Ax_B+y_Ay_B＝x_Ax_B+(kx_A+)(kx_B+)

＝(k²+1)x_Ax_B+k(x_A+x_B)+2＝(k²+1)+k+2＝.

于是>2，即>0，解此不等式得<k²<3.②

由①②得<k²<1.

故k的取值范围为(－1，－)∪(，1)．