3．理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数性质，并能用它们解决一些简单的应用问题．

2．理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题．

1．掌握分类计数原理与分步计数原理、并能用它分析和解决一些简单的应用问题．

3．实际问题中有关术语、名称．

(1)仰角和俯角：在目标视线和水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的角叫仰角；在水平视线下方的角叫俯角

(2)方位角：指正北方向顺时针转到目标方向线水平角．

例1．(1)某人朝正东方走km后，向左转150⁰，然后朝新方向走3km，结果它离出发点恰好km，那么等于　　　　　　 (　　　 )

　　 (A)　　　 　　(B)　　　　　　　 (C)或 　　(D)3

解：C 提示：利用余弦定理

(2)甲、乙两楼相距，从乙楼底望甲楼顶的仰角为，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为，则甲、乙两楼的高分别是　　　　 (　　　 )

A　 　　　　　　B　

C　 　　　D　 　　　　　　　　

解：A

(3)一只汽球在的高空飞行，汽球上的工件人员测得前方一座山顶上A点处的俯角为，汽球向前飞行了后，又测得A点处的俯角为，则山的高度为(　　 )

A　 　B　 　　C　 　　D　

解： B

(4)已知轮船A和轮船B同时离开C岛，A向北偏东方向，B向西偏北方向，若A的航行速度为25 nmi/h，B的速度是A的，过三小时后，A、B的距离是 　　　　　．

解：90.8 nmi

　 　 (5) 货轮在海上以40km/h的速度由B到C航行，

航向为方位角，A处有灯塔，　　　　

其方位角，在C处观测灯塔A的　　　

方位角，由B到C需航行半小时，　

则C到灯塔A的距离是　　　　　　　

解：km 提示：由题意知 ，利用余弦定理或解直角三角形可得

变式训练1：如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援(角度精确到1)？

解：连接BC,由余弦定理得BC²=20²+10²－2×20×10×cos120°=700.

　 于是,BC=10.

　 ∵,　　 ∴sin∠ACB=,

　∵∠ACB<90°　　　　　 ∴∠ACB=41°

∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援.

例2. 在某海滨城市附近海面有一台风，据检测，当前台风中心位于城市O(如图)的东偏南方向300 km的海面P处，并以20 km / h的速度向西偏北的方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10 km / h的速度不断增加，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？持续多长时间？

解：设在时刻t(h)台风中心为Q,此时台风侵袭的圆形区域半径为10t+60(km)

若在时刻t城市O受到台风的侵袭,则

由余弦定理知

由于PO=300,PQ=20t

故

即　 解得

答：12小时后该城市受到台风的侵袭，侵袭的时间将持续12小时．

变式训练2：如图所示,海岛A周围38海里内有暗礁，一艘船向正南方向航行，在B处测得岛A在船的南偏东方向上，船航行30海里后，在C处测得岛A在船的南偏东方向上，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁危险？

解：由题意得，在△ABC中，BC=30，，

　 所以 ，由正弦定理可知：

　 　所以，

于是A到BC所在直线的距离为

所以船继续向南航行无触礁危险。

例3. 如图所示，公园内有一块边长的等边△ABC形状的三角地，

现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，

E在AC上.

(1)设AD，ED，求用表示的函数关系式；

(2)如果DE是灌溉水管，为节约成本希望它最短，DE的位置

　 应该在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的

位置又在哪里？请给予证明.

解：(1)在△ABC中，D在AB上，

S_△ADE=S_△ABC

　，在△ADE中，由余弦定理得：

(2)令 ，则 则

令 ，

则

；

有最小值，此时DE∥BC，且

　 有最大值，此时DE为△ABC

　的边AB或AC的中线上.

变式训练3：水渠道断面为等腰梯形，如图所示，渠道深为，梯形面积为S，为了使渠道的渗水量达到最小，应使梯形两腰及下底之和达到最小，此时下底角应该是多少？

　 解：设 ，则，

　 所以

设两腰与下底之和为，

则

当且仅当 时，上式取等号，即当时，上式取等号

，所以下角时，梯形两腰及下底之和达到最小．

例4. 如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC。问：点B在什么位置时，四边形OACB面积最大？

解：设，在△AOB中，由余弦定理得：

　 于是，四边形OACB的面积为

　　 S=S_△AOB+ S_△ABC

因为，所以当，，即时，

四边形OACB面积最大．

变式训练4：如图所示，某海岛上一观察哨A上午11时测得一轮船在海岛北偏东的C处，12时20分测得船在海岛北偏西的B处，12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5 km的E港口，如果轮船始终匀速直线前进，问船速多少？

解：轮船从C到B用时80分钟，从B到E用时20分钟，

　 而船始终匀速前进，由此可见：BC=4EB，设EB=，则

　则BC=4，由已知得

在△AEC中，由正弦定理得：

在△ABC中，由正弦定理得：

在△ABE中，由余弦定理得：

　 所以船速　 答：该船的速度为 km/h

2．正弦定理和余弦定理解三角形的常见问题有：测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等；

1．三角形中的有关公式(正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理、三角形面积公式等)；

3．对于与测量和与几何计算有关的实际问题，可以考虑转化为解三角形的问题.

2．三角形中含边角的恒等变形问题，通常是运用正弦定理或余弦定理，要么将其变为含边的代数式做下去，要么将其变为含角的三角式做下去，请合理选择．

1．已知两边和其中一边的对角求其他的边和角，这种题型可能无解、一解、两解等，要特别注意．

3．三角形的面积公式：　　　　　　　　　

例1. 在△ABC中，已知a＝，b＝，B＝45°，求角A、C及边c．

解 A₁＝60°　 C₁＝75°　 c₁＝

A₂＝120°　 C₂＝15°　 c₂＝

变式训练1：(1)的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且，则　 (　　 )

A．　　　　　　　 B．　　　　　 C．　　　　　　 D．

解：B 提示：利用余弦定理

(2)在△ABC中，由已知条件解三角形，其中有两解的是　 (　　 )

A.　　　　　　　 B.

　C.　　　　　　　　 D.

解：C　 提示：在斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，则有两解；若已知大角求小角，则只有一解

(3)在△ABC中，已知，，则的值为( 　　)

A　　 　　　　B　 　　　C　 或　 　　D　

解：A　 提示:在△ABC中，由 知角B为锐角

(4)若钝角三角形三边长为、、，则的取值范围是　　　　 ．

解： 提示：由可得

(5)在△ABC中，=　　　　 ．

解：提示：由面积公式可求得，由余弦定理可求得

例2. 在△ABC中，若 sinA＝2sinB cos C， sin²A＝sin²B+sin²C，试判断△ABC的形状．

解：sinA＝2sinBcosC

sin(B+C)＝2sinBcosC

sin(B－C)＝0B＝C

sin²A＝sin²B+sin²Ca²＝b²+c²

∠A＝90°

∴ △ABC是等腰直角三角形。

变式训练2：在△ABC中，sinA=，判断这个三角形的形状.

解：应用正弦定理、余弦定理，可得

a=，所以b(a²－b²)+c(a²－c²)=bc(b+c).所以(b+c)a²=(b³+c³)+bc(b+c).所以a²=b²－bc+c²+bc.所以a²=b²+c².所以△ABC是直角三角形.

例3. 已知在△ABC中，sinA(sinB+cosB)－sinC＝0，sinB+cos2C＝0，求角A、B、C．

解：由sinA(sinB+cosB)－sinC＝0，得sinAsinB+sinAcosB－sin(A+B)＝0，

所以sinB(sinA－cosA)＝0

∵B∈(0, π), ∴sinB≠0,　 ∴cosA＝sinA，由A∈(0, π)，知A＝从而B+C＝，由sinB+cos2C＝0得sinB+cos2(－B)＝0

cos＝(－2B)＝cos[2π－(+2B)]＝cos(+2B)＝－sin2B

得sinB－sin2B＝0，亦即sinB－2sinBcosB＝0，由此各cosB＝，B＝，C＝

∴A＝　 B＝　 C＝

变式训练3：已知△ABC中，2(sin²A－sin²C)=(a－b)sinB，△ABC外接圆半径为.

(1)求∠C；

(2)求△ABC面积的最大值.

解：(1)由2(sin²A－sin²C)=(a－b)·sinB得

2(－)=(a－b).

又∵R=，∴a²－c²=ab－b².∴a²+b²－c²=ab.∴cosC==.

又∵0°＜C＜180°，∴C=60°.

(2)S=absinC=×ab=2sinAsinB=2sinAsin(120°－A)

=2sinA(sin120°cosA－cos120°sinA)=3sinAcosA+sin²A

=sin2A－cos2A+=sin(2A－30°)+.

∴当2A=120°，即A=60°时，S_max=.

例4. 如图，已知△ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过△ABC的中心G．设∠MGA＝()．

(1)试将△AGM、△AGN的面积(分别记为S₁与S₂)表示为的函数；

(2)求y＝的最大值与最小值．

解 (1) AG＝，∠　

由正弦定理得，

，

(2)

∵∴当

当

变式训练4：在在△ABC中，所对的边分别为，，且

(1)求的值；

(2)若，求的最大值；

解：(1)因为，故

　(2)

　　　 又，当且仅当时，

　　　 故的最大值是