10．(1994全国)如图，已知A₁B₁C₁－ABC是正三棱柱，D是AC中点．

(1)证明AB₁∥平面DBC₁；

(2)假设AB₁⊥BC₁，求以BC₁为棱，

DBC₁与CBC₁为面的二面角α的度数．

(1)证明：∵A₁B₁C₁－ABC是正三棱柱，∴四边形B₁BCC₁是矩形．

连结B₁C交BC₁于E，则B₁E=EC．连结DE．

在△AB₁C中，∵AD=DC，∴DE∥AB₁．

又AB₁平面DBC₁，DE平面DBC₁，∴AB₁∥平面DBC₁．

(2)解：作DF⊥BC，垂足为F，则DF⊥面B₁BCC₁，连结EF，则EF

是ED在平面B₁BCC₁上的射影．

∵AB₁⊥BC₁，

由(1)知AB₁∥DE，∴DE⊥BC₁，则BC₁⊥EF，∴∠DEF是二面角α的平面角．

设AC=1，则DC=．∵△ABC是正三角形，

∴在Rt△DCF中，DF=DC·sinC=，

CF=DC·cosC=．取BC中点G．

∵EB=EC，∴EG⊥BC．在Rt△BEF中，

EF²=BF·GF，又BF=BC－FC=，GF=，　　

∴EF²=·，即EF=．

∴tg∠DEF=．

∴∠DEF=45°故二面角α为45°．

[探索题]

9.如图，三棱锥V-ABC中，VA⊥底面ABC，

∠ABC=90°.

(1)求证：V、A、B、C四点在同一球面上；

(2)过球心作一平面与底面内直线AB垂直，求证：此平面截三棱锥所得的截面是矩形.

证明：(1)取VC的中点M，

∵VA⊥底面ABC，∠ABC=90°，

∴BC⊥VB.在Rt△VBC中，M为斜边VC的中点，

∴MB=MC=MV.同理，在Rt△VAC中，MA=MV=MC.

∴MV=MC=MA=MB.

∴V、A、B、C四点在同一圆面上，M是球心.

(2)取AC、AB、VB的中点分别为N、P、Q，连结NP、PQ、QM、MN，则MNPQ就是垂直于AB的三棱锥V-ABC的截面，易证PQMN是平行四边形.又VA⊥BC，QP∥VA，NP∥BC，∴QP⊥PN.故截面MNPQ是矩形.

8.已知三棱锥S-ABC的三条侧棱SA、SB、SC两两互相垂直且长度分别为a、b、c，设O为S在底面ABC上的射影.求证：

(1)O为△ABC的垂心；

(2)O在△ABC内；

(3)设SO=h，则 + +=.

证明：(1)∵SA⊥SB，SA⊥SC，

∴SA⊥平面SBC，BC平面SBC.∴SA⊥BC.

而AD是SA在平面ABC上的射影，∴AD⊥BC.

同理可证AB⊥CF，AC⊥BE，故O为△ABC的垂心.

(2)证明△ABC为锐角三角形即可.不妨设a≥b≥c，则底面三角形ABC中，AB=为最大，从而∠ACB为最大角.

用余弦定理求得：cos∠ACB=>0，

∴∠ACB为锐角，△ABC为锐角三角形.故O在△ABC内.

(3)SB·SC=BC·SD，

故SD=，= +，

又SA·SD=AD·SO，

==

= += ++=.

7. (2006山东)如图，已知平面平行于三棱锥的底面ABC，等边△所在的平面与底面ABC垂直，且∠ACB=90°，设

(1)求证直线是异面直线与的公垂线；

(2)求点A到平面VBC的距离；

(3)求二面角的大小.

证明(Ⅰ)∵平面∥平面，

∵∴

又∵平面⊥平面，平面∩平面，∴⊥平面，

　，

又，.

为与的公垂线.

解(Ⅱ)：过A作于D，　

∵△为正三角形，∴D为的中点.

∵BC⊥平面　 ∴，

又，∴AD⊥平面，

∴线段AD的长即为点A到平面的距离.

在正△中，.

∴点A到平面的距离为.

解法2：取AC中点O连结，则⊥平面，且=.

由(Ⅰ)知，设A到平面的距离为x，

，

即,

解得.即A到平面的距离为.

则

∴到平面的距离为.

(III)过点作于，连，由三重线定理知

是二面角的平面角.

在中，

　 .

.

所求二面角大小为arctan.

5. 4　 192π;　 6.距离为12.

[解答题]

6.已知球面上的三点A、B、C，AB=6，BC=8，AC=10，球的半径为13，则球心到平面ABC的距离为　　　　 .

◆答案提示： 1-3．ACC；　　 4. 1∶3∶5;

5.(2004年北京)地球仪上北纬30°纬线的长度为12πcm，该地球仪的半径是_________cm，表面积是_________cm².

4.过棱锥高的三等分点作两个平行于底面的截面，它们将棱锥的侧面分成三部分的面积的比(自上而下)为__________.

3．各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是(　 )

A.　 B.　 C.　　 D.

[填空题]

2.长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上,这个球的表面积是 (　 )

A.20π　　　 B.25π　　　 C.50π　　　 　 D.200π