4．(人教A版选修1－1，2－1第47页习题2.1B组第3题)

　　 如图，矩形ABCD中，，，E，F，G，H分别是矩形四条边的中点，R，S，T是线段OF的四等分点，，，是线段CF的四等分点．请证明直线ER与、ES与、ET与的交点L，M，N在同一个椭圆上．

变式1：直线与双曲线的右支交于不同的两点A、B.若双曲线C的右焦点F在以AB为直径的圆上时，则实数　　　　　 ．

解：将直线代入双曲线C的方程整理，得

　　　　　　　　　　 ……①

依题意，直线L与双曲线C的右支交于不同两点，故

解得．

设A、B两点的坐标分别为、，则由①式得

　　　　　　　　　　　　　　 ……②

∵双曲线C的右焦点F 在以AB为直径的圆上，则由FA⊥FB得：

整理，得……③

把②式及代入③式化简，得

解得，故．

变式2(2002年广东卷)：A、B是双曲线上的两点，点N(1，2)是线段AB的中点．

(Ⅰ)求直线AB的方程；

(Ⅱ)如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？ 　 　解：(Ⅰ)直线AB的方程为．(求解过程略)

(Ⅱ)联立方程组得、．

由CD垂直平分AB，得CD方程为．

代入双曲线方程整理，得．

记，以及CD的中点为，

则有从而．

∵．

∴．

又．

即A、B、C、D四点到点M的距离相等．

故A、B、C、D四点共圆．

变式3(2005年湖北卷)：设A、B是椭圆上的两点，点N(1，3)是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.

　 (Ⅰ)确定的取值范围，并求直线AB的方程；

(Ⅱ)试判断是否存在这样的，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由.

(Ⅰ)解法1：依题意，可设直线AB的方程为整理，得　 ①

设①的两个不同的根，

　 　②

是线段AB的中点，得

解得＝－1，代入②得，＞12，即的取值范围是(12，+).

于是，直线AB的方程为

解法2：设

依题意，

(Ⅱ)解法1：代入椭圆方程，整理得

　 　　　　　　　　　　　③

③的两根，

于是由弦长公式可得　 　④

将直线AB的方程 　⑤

同理可得　 ⑥

假设在在＞12，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心.点M到直线AB的距离为　 ⑦

于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得

故当时，A、B、C、D四点均在以M为圆心，为半径的圆上.

(注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：

A、B、C、D共圆△ACD为直角三角形，A为直角

　 ⑧

由⑥式知，⑧式左边＝

由④和⑦知，⑧式右边＝

∴⑧式成立，即A、B、C、D四点共圆

解法2：由(Ⅱ)解法1及.

代入椭圆方程，整理得

　③　　　 解得.

将直线AB的方程代入椭圆方程，整理得

　 ⑤　　 解得.

不妨设

∴

计算可得，∴A在以CD为直径的圆上.

又点A与B关于CD对称，∴A、B、C、D四点共圆.

(注：也可用勾股定理证明AC⊥AD)

3．(人教A版选修1－1，2－1第47页习题2.1A组第6题)

已知点P是椭圆上的一点，且以点P及焦点，为顶点的三角形的面积等于1，求点P的坐标．

变式1(2004年湖北卷理)：已知椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，点P在椭圆上，若P、F₁、F₂是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为　　　　　　　　　　　　　

　　　 A．　　 　　　　 B．3　　　 　　　　 C．　　　 　　　　 D．

解：依题意，可知当以F₁或F₂为三角形的直角顶点时，点P的坐标为，则点P到x轴的距离为，故选D．(可以证明不存在以点P为直角顶点的三角形)

变式2(2006年全国卷Ⅱ)：已知的顶点B、C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则的周长是

　　　 A．　　B．6　　 　　C．　　　　 D．12

解：由于椭圆的长半轴长，而根据椭圆的定义可知的周长为，故选C．

2．(人教A版选修1－1，2－1第40页练习第3题)

已知经过椭圆的右焦点作垂直于x轴的直线A B，交椭圆于A，B两点，是椭圆的左焦点．

(1)求的周长；

(2)如果AB不垂直于x轴，的周长有变化吗？为什么？

变式1(2005年全国卷Ⅲ)：设椭圆的两个焦点分别为F_1、、F₂，过F₂作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F₁PF₂为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是

A．　　　　　　 B．　　　　 C．　 D．

解一：设椭圆方程为，依题意，显然有，则，即，即，解得．选D．

解二：∵△F₁PF₂为等腰直角三角形，∴.

∵，∴，∴．故选D．

变式2：已知双曲线的左，右焦点分别为，点P在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率e的最大值为　　　　　 ．

解一：由定义知，又已知，解得，，在中，由余弦定理，得，要求的最大值，即求的最小值，当时，解得．即的最大值为．

解二：设，由焦半径公式得，∵，∴，∴，∵，∴，∴的最大值为．

变式3(2005年全国卷Ⅰ)：已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与共线．

(Ⅰ)求椭圆的离心率；

(Ⅱ)设M为椭圆上任意一点，且，证明为定值．

解：(Ⅰ)设椭圆方程为，

则直线AB的方程为，代入，化简得

.

设A()，B)，则

由与共线，得

又，

即，所以，

故离心率

(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)知，所以椭圆可化为

设，由已知得

　在椭圆上，

即①

由(Ⅰ)知

又，代入①得

故为定值，定值为1.

命题人：广州市教育局教研室　 曾辛金

1．(人教A版选修1－1，2－1第39页例2)

如图，在圆上任取一点P，过点P作X轴的垂线段PD，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？

变式1：设点P是圆上的任一点，定点D的坐标为(8，0)．当点P在圆上运动时，求线段PD的中点M的轨迹方程．

解：设点M的坐标为，点P的坐标为，则，．即，．

因为点P 在圆上，所以

．

即，

即，这就是动点M的轨迹方程．

变式2：设点P是圆上的任一点，定点D的坐标为(8，0)，若点M满足．当点P在圆上运动时，求点M的轨迹方程．

解：设点M的坐标为，点P的坐标为，由，得

，

即，．

因为点P在圆上，所以

．

即，

即，这就是动点M的轨迹方程．

变式3：设点P是曲线上的任一点，定点D的坐标为，若点M满足．当点P在曲线上运动时，求点M的轨迹方程．

解：设点M的坐标为，点P的坐标为，由，得

，

即，．

因为点P在圆上，所以

．

即，这就是动点M的轨迹方程．

6．(人教A版，必修2，P87，B组第1题)

如图5，边长为2的正方形ABCD中，

(1)点是的中点，点是的中点，将分别沿折起，使两点重合于点，求证：．

(2)当时，求三棱锥的体积．

变式题．如图5－1，在矩形中，是的中点，以为折痕将向上折起，使为，且平面平面．

(Ⅰ)求证：；

(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值．

解(Ⅰ)在中，，

在中，，

∵，

∴．

∵平面平面，且交线为，

∴平面．

∵平面，

∴．

(Ⅱ)设与相交于点，由(Ⅰ)知，

∵，

∴平面，

∵平面，

∴平面平面，且交线为，

如图6－2，作，垂足为，则平面，

连结，则是直线与平面所成的角．

由平面几何的知识可知，∴．

在中，，

在中，，可求得．

∴．

∴直线与平面所成的角的正弦值为．

5．(人教A版，必修2，P87，第10题)

如图5，已知平面，且是垂足，试判断直线与的位置关系？并证明你的结论．

变式题5－1，如图5，已知平面，且是垂足．

(Ⅰ)求证：平面；

(Ⅱ)若，试判断平面与平面的位置关系，并证明你的结论．

变式题5－1，如图5，已知平面，

且是垂足．

(Ⅰ)求证：平面；

(Ⅱ)若，试判断平面与平面的位置关系，并证明你的结论．

解(Ⅰ)因为，所以．同理．

又，故平面．

(Ⅱ)设与平面的交点为，连结、．

因为平面，所以，

所以是二面角的平面角．

又，所以，即．

在平面四边形中，，

所以．

故平面平面．

变式题5－2．如图5－1，已知直二面角，与平面、所成的角都为，．

为垂足，为垂足．

(Ⅰ)求直线与所成角的大小；

(Ⅱ)求四面体的体积．

解：(Ⅰ)如图5－2，在平面内，作，连结、．则四边形为平行四边形，所以，即为直线与所成的角(或其补角)．

因为．

所以．同理．

又与平面、所成角为，所以，，所以，．

在中，，从而．

因为，且为平行四边形，

所以．

又，所以．

故平面，从而．

在中，．

所以，

即直线与所成角的大小为．

(Ⅱ)在中，，所以．

三角形的面积，

故四面体的体积

．

4．(人教A版，必修2，P74．例2)

如图4，在正方体中，求直线与平面所成的角．

变式题：如图4－1，已知正四棱柱中，底面边长，侧棱的长为4，过点作的的垂线交侧棱于点，交于点．

(Ⅰ)求证：平面；

(Ⅱ)求与平面所成的角的正弦值．

解：(Ⅰ)如图4－2，以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系．

∴．

设，则．

∵，∴．

∴，∴，．

又，

∴且．

∴且．

∴且．∴平面．

(Ⅱ)由(Ⅰ)知是平面的一个法向量，又，

∴．

∴与平面所成角的正弦值为．

3．(北师大版．必修2．P31．第4题)

如图3，已知E，F分别是正方体的棱和棱上的点，且，求证：四边形是平行四边形

变式题：如图3－1．已知、分别是正方体的棱和棱的中点．

(Ⅰ)试判断四边形的形状；

(Ⅱ)求证：平面平面．

解(Ⅰ)如图3－2，取的中点，连结、．

∵、分别是和的中点，

∴，

在正方体中，有

，　∴，

∴四边形是平行四边形，

∴．

又、分别是、的中点，

∴，

∴四边形为平行四边形，

∴．

故．

∴四边形是平行四边形．

又≌，

∴，

故四边形为菱形．

(Ⅱ)连结、、．　 ∵四边形为菱形，

∴．

在正方体中，有

，

∴平面．

又平面，

∴．

又，

∴平面．

又平面，

故平面平面

2．(人教A版，必修2，P20．例3)

如图2，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．

变式题2－1．如图2－1．已知几何体的三视图(单位：cm)．

(Ⅰ)画出它的直观图(不要求写画法)；

(Ⅱ)求这个几何体的表面积和体积．

解(Ⅰ)这个几何体的直观图如图2－2所示．

(Ⅱ)这个几何体是一个简单组合体，它的下部是一个圆柱(底面半径为1cm，高为2cm)，它的上部是一个圆锥(底面半径为1cm，母线长为2cm，高为cm)．

所以所求表面积，

所求体积．

变式题2－2．如图2－3，已知几何体的三视图(单位：cm)．

(Ⅰ)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；

(Ⅱ)求这个几何体的表面积及体积；

(Ⅲ)设异面直线、所成角为，求．(理科考生)

解：(Ⅰ)这个几何体的直观图如图2－4所示．　

(Ⅱ)这个几何体可看成是由正方体及直三棱柱的组合体．

由，，

可得．

故所求几何体的全面积

所求几何体的体积

(Ⅲ)由，且，可知，

故为异面直线、所成的角(或其补角)．

由题设知，，

取中点，则，且，

．

由余弦定理，得

　　　　　　　　．

命题人：黄埔区教育局教研室　 肖凌戆．　2007.5

1．(人教A版，必修2．P17．第4题)

图1是一个几何体的三视图，想象它的几何结构特征，并说出它的名称．

变式题1．如图1－1是一个几何体的三视图(单位：cm)

(Ⅰ)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；

(Ⅱ)求这个几何体的表面积及体积；

(Ⅲ)设异面直线与所成的角为，求．

解：(Ⅰ)这个几何体的直观图如图1－2所示．

(Ⅱ)这个几何体是直三棱柱．

由于底面的高为1，所以．

故所求全面积

　　　．

这个几何体的体积

(Ⅲ)因为，所以与所成的角是．

　　在中，，

　　故．