5．若F₁、F₂为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，

P在双曲线左支上，M在右准线上，且满足

　 (1)求此双曲线的离心率；

　 (2)若此双曲线过点，求双曲线方程；

(3)设(2)中双曲线的虚轴端点为B₁，B₂(B₁在y轴正半轴上)，求B₂作直线AB与双曲线交于A、B两点，求时，直线AB的方程.

解：(1)由知四边形PF₁OM为平行四边形，又由

知为菱形，设半焦距为c，由，

(2)双曲线方程为代入，

有即所求双曲线方程为

(3)依题意得B₁(0，3)，B₂(0，－3).设直线AB的方程为

则由

∵双曲线的渐近线为时，AB与双曲线只有一个交点，

即　

又

故所求直线AB的方程为

函数与导数：

4．　 已知两点、, 动点P在y轴上的射影为　　　 Q,

.

(1) 求动点P的轨迹E的方程;

(2) 设直线＃过点A, 斜率为k. 当时, 曲线E的上支上有且仅有一点C到直线l的距离为, 试求k的值及此时点C的坐标.

(1)设动点P的坐标为, 则点Q的坐标为,

, ,,

＝……(3分) 由题意得, 得

∴所求动点P的轨迹方程为:

(2)设直线l:

由题意点C在与直线l平行, 且与l之间的距离为的直线上.

设直线l’: 则得即……①

把代入, 且整理得

则由题意知: △＝即……②

由①－②得:

由方程组:

此时, 由方程组, 得点C的坐标为

3．已知常数a > 0，向量，，经过定点A (0，– a )以+为方向向量的直线与经过定点B (0，a)以+ 2为方向向量的直线相交于点P，其中∈R．

　 (Ⅰ)求点P的轨迹C的方程；

　 (Ⅱ)若，过E (0，1)的直线l交曲线C于M、N两点，求的取值范围．

解：(Ⅰ)设P点的坐标为(x，y)，则，，

　　　 　 又，故，．

　　　 由题知向量与向量平行，故(y + a) = ax．

　　　 又向量与向量平行，故y – a = 2．

　　　 两方程联立消去参数，得点P (x，y)的轨迹方程是

　　　 (y + a)(y – a) = 2a²x²，即y² – a² = 2a²x²．　　　　

　　　 (Ⅱ)∵，故点P的轨迹方程为2y² – 2x² = 1，

　　　 　此时点E (0，1)为双曲线的焦点．

　①若直线l的斜率不存在，其方程为x = 0，l与双曲线交于、

，此时．　

　　 ②若直线l的斜率存在，设其方程为y = kx + 1，代入2y² – 2x² = 1化简得

　　 　　　　　　2(k² – 1) x² + 4kx + 1 = 0．

∴直线l与双曲线交于两点，

∴△= (4k)² – 8 (k² – 1) > 0且k² – 1≠0．解得k≠±1．

设两交点为M (x₁，y₁)、N (x₂，y₂)，

则x₁ + x₂ =，x₁x₂ =．　　

此时

= x₁x₂ + k²x₁x₂ = (k² + 1) x₁x₂ =．

当– 1 < k < 1时，k² – 1 < 0，故≤；

当k > 1或k < – 1时，k² – 1 > 0，故．

综上所述，的取值范围是∪．

2．已知O为坐标原点，=(2，1)，=(1，7)，=(5，1)，=x,y=·(x，y∈R)

(Ⅰ)求点P(x，y)的轨迹方程；

(Ⅱ)将点P(x，y)的轨迹按向量=(-2，8)平移到曲线C，M、N是曲线C上的两不同的点，如果⊥，求证直线MN恒过一定点，并求出定点坐标.

解：(Ⅰ)∵=x=x(2，1)=(2x，x)　 ∴D(2x，x)

∵=(1，7)，=(5，1)　 ∴B(1，7)，C(5，1)

∴=(1-2x，7-x)，=(5-2x，1-x)

∴y=·=(1-2x)·(5-2x)+(7-x)(1-x)=5x²-20x+12

∴y=5(x-2)²-8这就是所求的点P(x，y)的轨迹方程

(Ⅱ)将y=f(x)的图象按向量平移到曲线C，所得的曲线C的方程为：y=5x²

设M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)则OM⊥ON·=x₁x₂+y₁y₂=0

设直线MN的方程为：y=kx+y₀(k≠0)代入y²=5x得

k²x²+(2ky₀-5)x+y₀²=0

Δ=(2ky₀-5)-4k²y₀²=25-20ky₀＞0即ky₀＜且x₁+x₂=，x₁x₂=

∴y₁y₂=(kx₁+y₀)(kx₂+y₀)=k²x₁x₂+ky₀(x₁+x₂)+y₀²=于是

y₀²=-5(ky₀)∴k=-y₀(显然y₀≠0且满足ky₀＜)

故直线MN的方程为：

∴y=-(x-5)

所以直线MN恒过定点(5，0)

1．过椭圆的右焦点F作直线l交椭圆于M、N两点，设

　 (Ⅰ)求直线l的斜率k；

　 (Ⅱ)设M、N在椭圆右准线上的射影分别为M₁、N₁，求的值.

解：(Ⅰ)F()　 l：　

由　

设M　 ①

　　　　　　　　　　　　 　②

　③

把①②代入③，并整理，得

解得　 　

(Ⅱ)设的夹角为

则由(Ⅰ)知　 ∴

∴

5．投掷飞碟的游戏中，飞碟投入红袋记2分，投入蓝袋记1分，未投入袋记0分，经过

多次试验，某生投掷100个飞碟有50个入红袋，25个入蓝袋，其余不能入袋。

(Ⅰ)求该人在4次投掷中恰有三次投入红袋的概率。

(Ⅱ)[文]求该人两次投掷后得2分的概率。

[理]求该人两次投掷后得分的数学期望。

解：(Ⅰ)、“飞碟投入红袋”，“飞碟投入蓝袋”，“飞碟不入袋”分别记

为事件A，B，C。则由题意知：

　 因每次投掷飞碟为相互独立事件，故4次投掷中恰有三次投入红袋的概率为；

(Ⅱ)、两次投掷得分的得分可取值为0，1，2，3，4则：

；

解析几何

4．在一次由三人参加的围棋对抗赛中，甲胜乙的概率为0.4，乙胜丙的概率为0.5，丙胜甲的概率为0.6，比赛按以下规则进行；第一局：甲对乙；第二局：第一局胜者对丙；第三局：第二局胜者对第一局败者；第四局：第三局胜者对第二局败者，求：

(1)乙连胜四局的概率；

(2)丙连胜三局的概率．

解：(1)当乙连胜四局时，对阵情况如下：

　第一局：甲对乙，乙胜；第二局：乙对丙，乙胜；第三局：乙对甲，乙胜；第四局：乙对丙，乙胜．

　所求概率为＝×＝＝0.09

　∴　乙连胜四局的概率为0.09．

　(2)丙连胜三局的对阵情况如下：

　第一局：甲对乙，甲胜，或乙胜．

　当甲胜时，第二局：甲对丙，丙胜．第三局：丙对乙，丙胜；第四局：丙对甲，丙胜．

　当乙胜时，第二局：乙对丙，丙胜；第三局：丙对甲，丙胜；第四局：丙对乙，丙胜．

故丙三连胜的概率＝0.4××0.5+(1-0.4)××0.6＝0.162.

3．从原点出发的某质点M，按向量，按向量移动的概率为，设M可到达点(0，n)的概率为P_n.

　　　 (1)求P₁和P₂的值；

　　　 (2)求证：；

　　　 (3)求P_n的表达式.

解：(1)

(2)M到达(0，n+2)有两种情况

(3)数列为公比的等比数列

2． 　某篮球职业联赛总决赛在甲、乙两支球队之间进行，比赛采用五局三胜制，即哪个队先胜三场即可获得总冠军。已知在每一场比赛中，甲队获胜的概率均为，乙队获胜的概率均为。求：

　　 (I)甲队以3：0获胜的概率；

　　 (II)甲队获得总冠军的概率。

解：(I)设“甲队以3：0获胜”为事件A，则　　　　　

　　 (II)设“甲队获得总冠军”为事件B，

　　 则事件B包括以下结果：3：0；3：1；3：2三种情况

　　 若以3：0胜，则；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　 若以3：1胜，则　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　 若以3：2胜，则　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　 所以，甲队获得总冠军的概率为　　　　　　　　　　　　　　

1．甲与乙两人掷硬币，甲用一枚硬币掷3次，记正面朝上的次为ξ；乙用这次枚硬币掷2次，记正面朝上的次为η.

　 (Ⅰ)分别求ξ和η的期望；

　 (Ⅱ)规定；若ξ>η，则甲获胜，若ξ<η，则乙获胜，分别求出甲和乙获胜的概率.

解：(Ⅰ)依题意ζ~B(3，0.5)，η~B(2，0.5)，所以

Eζ=3×0.5=1.5, Eη=2×0.5=1

(Ⅱ)P(ζ=0)=

甲获胜有以下情形：ζ=1，η=0，ζ=2，η=0，1；ζ=3，η=0，1，2

则甲获胜的概率为

乙获胜有以下情形：η=1，ζ=0，η=2，ζ=0，1

则乙获胜的概率为