13．已知直角的直角顶点为原点，、在抛物线上，(1)分别求、两点的横坐标之积，纵坐标之积；(2)直线是否经过一个定点，若经过，求出该定点坐标，若不经过，说明理由；(3)求点在线段上的射影的轨迹方程

　答案：(1)； 　；(2)直线过定点

(3)点的轨迹方程为

12.(07山东理21)(本小题满分12分)

已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为．

(Ⅰ)求椭圆的标准方程；

(Ⅱ)若直线与椭圆相交于，两点(不是左右顶点)，且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

[标准答案](I)由题意设椭圆的标准方程为

，

　(II)设，由得

，

，.

以AB为直径的圆过椭圆的右顶点，

，，

，

，解得

，且满足.

当时，，直线过定点与已知矛盾；

当时，，直线过定点

综上可知，直线过定点，定点坐标为

11．求直线所经过的定点坐标．

答案:

10. 已知焦点在轴上的椭圆上存在两点，关于直线对称，求的取值范围.

解法1：如图8-6，由题意可设，两点所在直线方程设为，

代入椭圆方程得 ，

由 得　 ，

设，则

，

，

所以的中点，

因为点在直线上，

所以，

解得，再将代入得

，

解得或，

因为 ，

所以．

解法2：设，，中点，

由题意可得

由③-④得，

将①②代入得，

将⑤代入结果得，

再将⑥代入得，

解得，，将，代入⑦得

，

化简得，

解得或，

因为 ，

所以．

点评：对称问题应注意运用以下结论建立关系式：

(1)对称点的连线与对称轴垂直；

(2)对称点的中点在对称轴上；

(3)对称点所在的直线与曲线相交于两个不同的点．

本题在求参数范围时，解法1是利用构造含参数的不等式，解法2是利用的中点在椭圆内构造含参数的不等式．

9.(2008北京理19)已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆上，对角线BD所在直线的斜率为1.

(Ⅰ)当直线BD过点(0，1)时，求直线AC的方程；

(Ⅱ)当时，求菱形ABCD面积的最大值．

[答案]

(Ⅰ)解法1：由题意得直线BD的方程为．

　　　　 　因为四边形ABCD为菱形，所以．

　　　　 　于是可设直线AC的方程为．

　　　　 　由得．

　　　　 　因为，在椭圆上，

　　　　 　所以，解得．

　　　　 　设，两点坐标分别，，

　　　　 　则，，，．

　　　　 　所以．

　　　　 　所以的中点的坐标为().

　　　　 　由四边形为菱形可知,点()在直线上,

　　　　 　所以,解得.

　　　　 　所以直线的方程为，即．

本题也可以由，两点到直线距离相等，得到.

或者由点(0，1)到，两点的距离相等，得到.

再由 ， ，，也能解得．

还可以由点(0，1)到直线的距离等于点(0，1)与中点距离，

得到.解得．

解法2设，两点坐标分别为，，中点

由题意

解得，.

所以直线的方程为，即.(经检验，所求直线方程符合题意．)

解法3设，两点坐标分别为，，

因为，在椭圆上，所以

①-②得，即.

因为四边形为菱形，所以，

所以直线的斜率为，即.

所以，

设直线的方程为.

由，得到的中点,

于是有，即.

所以直线的方程为，即.

解法4设点坐标为，

因为，关于直线：对称，

所以点坐标为.

由在椭圆上，得.

②-①并整理得到.

即或.

因为点，在直线上，且直线的斜率为，

所以点坐标满足方程，

因此直线的方程为.

　　　 本题也可由.

解得或

所以直线的方程为.

(Ⅱ)因为四边形为菱形,且,

所以.

所以菱形的面积

由(Ⅰ)可得

所以

　所以当时,菱形的面积取得最大值.

8.(2008北京19)已知△的顶点A，B在椭圆上，C在直线上，且AB//l.

(Ⅰ)当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及△的面积；

(Ⅱ)当，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程．

[答案]

解：(Ⅰ)因为，且AB边通过点(0，0)，所以AB所在直线的方程为

　　　　 设A，B两点坐标分别为，.

　　　　 由 得 　

　　　　 所以

　　　　 又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离，

　　　　 所以

(Ⅱ)设AB所在直线的方程为 ．

　　　 由 得 ．

　　　 因为A，B在椭圆上，

　　　 所以 ．

　　　 设A，B两点坐标分别为，．

　　　 则 ，．

　　　 所以．

　　　 又因为BC的长等于点(0，m)到直线l的距离，即．

　　　 所以

　　　 所以当 时，AC边最长.(这时 )

　　　 此时AB所在直线的方程为

7．给定抛物线,是的焦点，过的直线与交于、两点，记为坐标原点.

(1)　　　 求的值；

(2)　　　 设，当三角形的面积时，求的取值范围.

(1)解：设， 则．

当斜率不存在时，，,

所以；

当斜率存在时，设所在直线方程为,

由消去得，则

，①

．②

因为，,

所以,

所以,

因此,

综上.

(2)解法1：由(1)知

,

因为,

所以,

所以，，代入①②得

，③

，④，消去得,

所以,

由得.

解法2：因为及点、在抛物线上，

所以，⑤

，⑥

，⑦

．⑧

由⑥得，⑨

⑦⑧代入⑨得，解得，,

所以．以下同解法1.

解法3：由题可知，，再根据抛物线定义可得

，⑩

，⑾

由⑩⑾得，，代入抛物线的方程得，以下同解法2.

点评：本题是利用方程的思想、函数思想方法求参数的范围.恰当运用图形的几何特征及抛物线的定义可简化运算量.

点评：求参数范围要注意寻找参数变化的根源，即所求的参数是随着哪个变量的变化而变化. 求参数范围主要方法有：(1)构造含参数的不等式通过解不等式求参数范围；(2)构造含参数的函数转化为求函数的值域或定义域；(3)利用曲线上的点的坐标的范围求参数的范围．本题主要思路是先寻找与的函数关系，再根据范围求范围．

6．已知点为椭圆的右焦点， 点在椭圆W上，直线PF交椭圆W于点Q，且，若，求实数的范围．

解法1：设，

因为 ，，

所以 　　　解得 　

由点P、Q均在椭圆W上，

所以 　　　　

消去并整理，得，

因为,

所以.

解得．　　　　

解法2：设，由题知，，，，，，

因为，

所以，

于是,①

由条件得，再由椭圆的第二定义得

,如图8-4．(点，在右准线上的射影分别为，)

所以,

即.②

①+②得,

于是,

因为,

所以.

5.将圆O: 上各点的纵坐标变为原来的一半 (横坐标不变),

得到曲线C.

(1) 求C的方程;

(2) 设O为坐标原点, 过点的直线l与C交于A、B两点, N为线段AB的中点,

延长线段ON交C于点E.

求证: 的充要条件是.

解: (1)设点, 点M的坐标为,由题意可知………………(2分)

又∴.

所以, 点M的轨迹C的方程为.………………(4分)

(2)设点, , 点N的坐标为,

㈠当直线l与x轴重合时, 线段AB的中点N就是原点O, 不合题意,舍去; ………………(5分)

㈡设直线l:

由消去x,

得………………①

∴………………(6分)

∴,

∴点N的坐标为.………………(8分)

①若, 坐标为, 则点E的为, 由点E在曲线C上,

得, 即 ∴舍去).

由方程①得

又

∴.………………(10分)

②若, 由①得∴

∴点N的坐标为, 射线ON方程为: ,

由　 解得 ∴点E的坐标为

∴.

综上, 的充要条件是.

4．中心在原点，焦点在轴上的椭圆，离心率，此椭圆与直线 交于，两点，且(其中为坐标原点)，求椭圆的方程.

解：设椭圆方程为，

因为，所以，即，

所以椭圆方程化简为，即为．

由消去得，

设，，则，．

又因为，所以，即，

所以，整理得

，

所以，化简得.

故所求椭圆方程为.