1证明下列不等式:

(1)a,b∈R,求证|a+b|≤|a|+|b|;

(2)已知|h|<,|k|<(ε>0),求证:|hk|<ε;

(3)已知|h|<cε, c <|x| (c>0,ε>0),求证:||<ε

分析:用绝对值性质及不等式性质作推理运算绝对值性质有:

|ab|=|a|·|b|;|aⁿ|=|a|ⁿ,||=等

证明:(1)证法1:∵-|a|≤a≤|a|,-|b|≤b≤|b|

∴-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|　　 即|a+b|≤|a|+|b|

证法2:(平方作差)(|a|+|b|)²-|a+b|²=a²+2|a||b|+b²-(a²+2ab+b²)

=2［|a|·|b|-ab)=2(|ab|-ab)≥0显然成立故(|a|+|b|)²≥|a+b|²

又∵|a|+|b|≥0,|a+b|≥0，所以|a|+|b|≥|a+b|,　 即|a+b|≤|a|+|b|

(2)∵0≤|h|<,0≤|k|< (ε>0)，∴0≤|hk|＝|h|·|k|<·=ε

(3)由0<c<|x|可知:

0<且0≤|h|<cε,∴·cε,即||<ε

2求证:|x+|≥2(x≠0)

分析:x与同号,因此有|x+|=|x|+||

证法一:∵x与同号,∴|x+|=|x|+

∴|x+|=|x|+≥2=2,即|x+|≥2

证法二:当x>0时,x+≥2=2

当x<0时,-x>0,有

-x+

∴x∈R且x≠0时有x+≤-2,或x+≥2

即|x+|≥2

方法点拨:不少同学这样解:

因为|x+|≤|x|+,又|x|+≥2=2,所以|x+|≥2

学生认为这样解答是根据不等式的传递性实际上,上述两个不等式是异向不等式,是不符合传递性的,因而如此作解是错误的

3已知:|A-a|<,|B-b|<,求证:

(1)|(A+B)-(a+b)|<ε；(2)|(A-B)-(a-b)|<ε

分析:证明本题的关键是把结论的左边凑出条件的左边,创造利用条件的机会

证明:因为|A-a|<,|B-b|<

所以(1)|(A+B)-(a+b)|=|(A-a)+(B-b)|≤|A-a|+|B-b|<+=ε

即|(A+B)-(a+b)|<ε

(2)|(A-B)-(a-b)|=|(A-a)-(B-b)|≤|A-a|+|B-b|<+=ε

即|(A-B)-(a-b)|<ε

方法点拨:本题的证明过程中运用了凑的技巧,望给予足够重视,灵活掌握

已知：|x－1|≤1,

求证：(1)|2x+3|≤7;　 (2)|x²－1|≤3

证明：(1)∵|2x+3|=|2(x－1)+5|≤2|x－1|+5≤2+5=7

(2)|x²－1|=|(x+1)(x－1)|=|(x－1)[(x－1)+2]|

≤|x－1||(x－1)+2|≤|x－1|+2≤1+2=3

例1　 已知|x|＜，|y|＜,|z|＜, 求证 |x+2y－3z|＜ε

证明：|x+2y－3z|≤|x|+|2y|+|－3z|=|x|+2|y|+3|z|

∵|x|＜，|y|＜,|z|＜,

∴|x|+2|y|+3|z|＜

∴|x+2y－3z|＜ε

说明：此例题主要应用了推论1，其中出现的字母ε，其目的是为学生以后学习微积分作点准备

例2 　设a, b, c, d都是不等于0的实数，求证≥4

证明：∵

∴　　　　　 　①

　 　　　②

又 　　　　　　　③

由①，②，③式，得

说明：此题作为一个含绝对值的不等式，在证明过程中运用了基本不等式及不等式的性质，在证法上采用的是综合法

例3 已知|a|＜1,|b|＜1,求证＜1

证明：＜1＜1

由|a|＜1,|b|＜1,可知(1－a²)(1－b²)＞0成立，所以　 ＜1

说明：此题运用了|x|＜ax²＜a²这一等价条件将绝对值符号去掉，并采用了求差比较法证明其等价不等式的正确性，并用到了绝对值的有关性质，也体现了证明不等式的方法的综合性和灵活性

例4 设|a|<1, |b|<1 求证|a+b|+|a-b|<2

证明：当a+b与a-b同号时，|a+b|+|a-b|=|a+b+a-b|=2|a|<2

当a+b与a-b异号时，|a+b|+|a-b|=|a+b-(a-b)|=2|b|<2

∴|a+b|+|a-b|<2

例5 已知　 当a¹b时 求证：

证法一：

证法二：(构造法)如图，

，由三角形两边之差小于第三边得

定理：

证明：∵

　　　 　　　①

　又∵a=a+b-b　　 |-b|=|b|

由①|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|-b| 即|a|-|b|≤|a+b|　　 ②

综合①②:

注意：1° 左边可以“加强”同样成立，即

2° 这个不等式俗称“三角不等式”-三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边

3° a,b同号时右边取“=”，a,b异号时左边取“=”

推论1：≤

推论2：

证明：在定理中以-b代b得：

即　

前面我们已学过不等式的性质和证明方法，这一节我们再来研究一些含有绝对值的不等式的证明问题

我们知道，当a＞0时，

|x|＜a－a＜x＜a,

|x|＞ax＞a或x＜－a

根据上面的结果和不等式的性质，我们可以推导出含有绝对值的不等式具有下面的性质

4.状语从句的强调　

　not until引导的时间状语从句和because引导的原因状语从句可用于强调句型。句型构成分别是："It was not until ... that ..."和"It is/was because ... that..."。

3.状语从句的成分省略　

　在时间、条件、原因、让步、方式等状语从句中，当从句的主语与主句的主语相同，且从句中含有be动词时，我们可将从句的主语(或作主语的代词it)连同be动词一起省略。　

2.状语从句的语气　 (见虚拟语气)　

　(1)as if /as though引导的从句以及if only.。.(但愿，要是……就好了)句子的虚拟情况：用一般过去时表示对现在的虚拟，用过去完成时表示对过去的虚拟。　

　(2)if引导的非真实条件句中的虚拟情况。　

1.状语从句的时态　

　(1)当主句是一般将来时时，在时间、条件、让步等状语从句中用一般现在时表示将来的时间。　

　(2)when, before, after引导的从句的动作与主句动作的先后关系：若主从句的动作先后发生在过去，通常先发生的动作用过去完成时表示，后发生的动作用一般过去时。before, after本身已能表达动作的先后关系，所以在含有before, after从句的句子中，主从句的动作都可用一般过去时。　

5."(should)+动词原形"用于其他名词性从句中。　

　(1)在It is ordered/desired/decided/requested/suggested/advised that.。.句型中，主语从句的谓语动词用"(should)+动词原形"。　

　(2)在It is necessary/ important/ strange/ natural that.。.句型中，主语从句的谓语动词用"(should)+动词原形"。　

　(3) 在advice, idea, order, plan, demand, proposal, suggestion, request等名词之后的表语从句或同位语从句中，谓语用"(should)+动词原形"。如：　

　My suggestion is that we (should) walk home instead of taking a taxi. 　

　我的建议是我们走着回去，不用坐出租车。

　通过锦囊十：状语从句中的时态、语气、强调和成分省略问题