5.(2009·江苏高考)已知集合A＝{x|log₂x≤2}，B＝(－∞，a)，若A⊆B，则实数a的取值范围是(c，+∞)，其中c＝　　.

解析：A＝{x|0<x≤4}，B＝(－∞，a).

若A⊆B，则a>4.

即a的取值范围为(4，+∞)，∴c＝4.

答案：4

4.已知集合A＝{x|x²+x－6＝0}，B＝{x|mx+1＝0}，若BA，则实数m的取值集合是(　)

A.{－，0，}　　　　　 B.{0,1}　　　　　　 C.{－，}　　　　　　 D.{0}

解析：由x²+x－6＝0得x＝2或x＝－3，

∴A＝{2，－3}.

又∵BA，

∴当m＝0时，B＝∅，满足条件；

当m≠0时，B＝{－}，∴－＝2或－＝－3，

即m＝－或m＝.

答案：A

3.已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{－1,0，1}和N＝{x|x²+x＝0}关系的韦恩(Venn)图是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

解析：∵M＝{－1,0,1}，N＝{0，－1}，∴N　 M.

答案：B

2.已知集合A＝{a，b,2}，B＝{2，b^2,2a}，则A∩B＝A∪B，则a＝　　.

解析：由A∩B＝A∪B知A＝B，又根据集合元素的互异性，所以有

或，解得或

故a＝0或

答案：0或

1.(2009·广东高考)已知全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x－1≤2}和

N＝{x|x＝2k－1，k＝1,2，…}的关系的韦恩(Venn)图如图所　

示，则阴影部分所示的集合的元素共有　　　　　　　 (　)

A.2个　　 B.3个　　　 C.1个　　　 D.无穷多个

解析：M＝{x|－1≤x≤3}，N＝{x|x＝2k－1，k∈N^*}，

∴M∩N＝{1,3}.

答案：A

3．已知空间三点A(0,2,3),B(－2,1,6),C(1,－1,5)

⑴求以向量为一组邻边的平行四边形的面积S；

⑵若向量分别与向量垂直，且||＝，求向量的坐标

分析：⑴

∴∠BAC＝60°，

⑵设＝(x,y,z)，则

解得x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－1，∴＝(1,1,1)或＝(－1，－1，－1).

1?设，，且，记，

求与轴正方向的夹角的余弦值

解：取轴正方向的任一向量，设所求夹角为，

∵

∴，即为所求

2．　在ΔABC中，已知AB＝(2,4,0),BC＝(－1,3,0)，则∠ABC＝＿＿＿

解： 　　　　　　　　　　　　　　

∴∠ABC＝45°

例1 求证：如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行

已知：直线于，于．

求证：．

证明：以为原点，射线为非负轴，建立空间直角坐标系，

分别为沿轴，轴，轴的坐标向量，

设，

∵，∴，，

，

，

∴，即，

又知，为两个不同的点，∴．

点评：如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，记作，此时向量叫做平面的法向量．

例2．在棱长为的正方体中，分别是中点，在棱上，，是的中点，

(1)求证：；

(2)求与所成的角的余弦；

(3)求的长

解：如图以为原点建立直角坐标系，

则，，，，

，，，

(1)，，

∴，

∴．

(2)∵，

∴，

，，

∴，

∴与所成的角的余弦．

(3)∵，

∴．

例3．已知点是平行四边形所在平面外一点，如果，，

(1)求证：是平面的法向量；

(2)求平行四边形的面积．

(1)证明：∵，

，

∴，，又，平面，

∴是平面的法向量．

(2)，，

∴，

∴，

∴，

∴．

例4　在长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AB＝a，BC＝b，AA₁＝c，求异面直线BD₁和B₁C所成角的余弦值

分析一：利用，以及数量积的定义，可求出cos＜＞，从而得到异面直线BD₁和B₁C所成角的余弦值

分析二：建立空间直角坐标系，利用向量，且将向量的

运算转化为实数(坐标)的运算，以达到证明的目的

　解：建立如图所示空间直角坐标系，使D为坐标原点，

则B(b,a,0),D₁(0,0,c),B₁(b,a,c),C(0,a,0)

设异面直线BD₁和B₁C所成角为θ，则

6．两点间的距离公式：若，，

则，

或

5．夹角公式：．