6．过四面体的顶点作半径为的球，该球与四面体的外接球相切于点，且与平面相切。若，则四面体的外接球的半径为(　　　　　 )。

答　 选。

过作平面的垂线，垂足为，作，垂足为，，垂足为，则，且有。由于，则，，，因此为半径为的球的直径，从而四面体的外接球的球心在的延长线上，于是有，解得。

5．定义区间的长度均为，其中。已知实数，则满足的构成的区间的长度之和为(　　　　　 )。

答　 选。

原不等式等价于。

当或时，原不等式等价于。设，则。设的两个根分别为，则满足的构成的区间为，区间的长度为。

当时，同理可得满足的构成的区间为，区间的长度为。

由韦达定理，，所以满足条件的构成的区间的长度之和为，所以选。

4．已知为正整数，，实数满足，若的最大值为，则满足条件的数对的数目为(　　　　　 )。

　　　　　 　　　　　　　　　　　　。

答　 选。

　　 因为，所以，

于是有，因此。由于，得，其中的最大值当，时取到。又因为，所以满足条件的数对的数目为，选。

3．已知关于参数的二次函数的最小值是关于的函数，则的最小值为(　　　　　 )。

　　　　　 　　　　　　　　　　　以上结果都不对

答　 选。

当时，的最小值为，其中。因为对称轴为，所以当时的最小值为，选。

2．正边形被它的一些不在内部相交的对角线分割成若干个区域，每个区域都是三角形，则锐角三角形的个数为(　　 )。

　　　　　 　　　　　　大于　　　　　 　与分割的方法有关

答　 选。

只有包含正边形中心的三角形是锐角三角形，所以只有一个，选。

1．方程的实数解的个数为(　　　 )。

　　　　　 　　　　　　　　　　　　大于

答　 选。

设，则，因此，从而可得，因此是方程的两个实根，判别式，无解，所以选。

　 例7. 已知，且，求的范围。

　　 解：令

　　 可得

　　 ∴

　　 又

　　 可解得

　　 评注：题中，且是四个整体，在解题过程中，整体谋划，不能破坏其固有的整体结构。

　 例6. 解不等式

　　 分析：本题若直接将左边通分采用解高次不等式的思维来做，运算较繁杂。但注意到，且题中出现，启示我们构造函数去投石问路。

　　 解：将原不等式化为

　　 令

　　 则不等式等价于

　　 ∵在R上为增函数

　　 ∴原不等式等价于

　　 解得

　 例5. 已知，求证

　　 分析：结论可以转化为，恰好是一元二次方程有实根的必要条件。

　　 解：由已知可化为，这表明二次方程有实根，从而需要判别式，即成立。

　 例4. 设a<0为常数，解不等式。

　　 解：不等式转化为

　　 令函数和

　　 其图象如图所示

　　 由

　　 解得(舍去)

　　 ∴两个函数图象的交点为

　　 由图知，当时，函数的图象位于函数的图象的上方

　　 ∴不等式的解集是

　　 评注：在不等式的求解过程中，换元法和图象法是常用的技巧。通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的不等式或基本不等式，通过构造函数，数形结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图象关系。对含有参数的不等式，运用图象法，还可以使得分类标准更加明晰。