2．　　

1．　　

6．已知tan =3，求下列各式的值

分析：思路1，可以由tan =3求出sin、cos的值，代入求解即可；

思路2，可以将要求值的表达式利用同角三角函数关系，变形为含tan的表达式．

解：(1)原式分子分母同除以得，

原式=

(2)原式的分子分母同除以得：

原式=

(3)用“1”的代换

原式=

(4)原式=

(5) ＝＝

＝

∴

　(6)同(5)

∴

(7)

(8)=

　　 =

　　 ==

　　 ===

说明：数字“1”的代换，表面上看增加了运算，但同时它又可以将原表达式整体结构发生改变，给解决问题带来方面，故解题时，应给于足够的认识．

7 化简下列各式

5．已知，求tan和sin的值．

分析：由已知条件可知cos的值可能正可能负,

∴要分别讨论分子为正、为负的情形．

解：(1)若│m│＞│n│＞0

则cos＞0　 ∴在Ⅰ、Ⅳ象限

当在第Ⅰ象限时

当在第Ⅳ象限时

(2)若0＜│m│＜│n│时，则cos＜0　 ∴在第II、III象限

当在第Ⅱ象限时

当在第III象限时

(3)若n=0、m≠0时，tan =0，sin =0

(4) 若m=0、n≠0时，tan =0，sin =0

说明：已知某角的一个三角函数值，求该角的其他三角函数值时要注意：

(1)　　 角所在的象限；

(2)　　 用平方关系求值时，所求三角函数的符号由角所在的象限决定；

(3)若题设中已知角的某个三角函数值是用字母给出的，则求其他函数值时，要对该字母分类讨论．

4．已知 求cot的值

分析：由题意可知cos＞0，∴分在Ⅰ、Ⅳ象限讨论．利用平方关系可求正弦值，利用商的关系，即可求余切值．

解：∵ m＞1　　 ∴，∴在第I、IV象限

当α在第I象限时

∴

当在第IV象限时，

3．已知角的终边在直线y=3x上，求sin和cos的值．

解：由题意可知

∵角的终边在直线y=3x上

∴设P(a，3a)(a≠0)为角终边上的任一点．

当在第一象限时，a＞0

∴

当在第三象限，

∴

2．已知：且，试用定义求的其余三个三角函数值．

分析：题目要用定义求三角函数值，则解决问题的关键应找到终边的所在象限．

解：∵，而

∴在第二象限

设点P(x，y)为角终边上任一点

由，可设，则．

∴

，，．

1．已知cot=2，求α的其余三个三角函数值．

分析：由于cot=2＞0，因此分在第Ⅰ、III象限时，讨论．

解：∵cot=2＞0　　 ∴α在第Ⅰ、III象限

当在第Ⅰ象限时，

，

∴，　 ∴

当在第II象限时，

例1化简：

　 解：原式

例2 已知

解：

　 　(注意象限、符号)

例3求证：　

分析：思路1．把左边分子分母同乘以，再利用公式变形；思路2：把左边分子、分母同乘以(1+sinx)先满足右式分子的要求；思路3：用作差法，不管分母，只需将分子转化为零；思路4：用作商法，但先要确定一边不为零；思路5：利用公分母将原式的左边和右边转化为同一种形式的结果；思路6：由乘积式转化为比例式；思路7：用综合法．

证法1：左边=右边，

∴原等式成立

证法2：左边=＝

＝右边

证法3：

∵，

∴

证法4：∵cosx≠0，∴1+sinx≠0，∴≠0，

∴＝＝＝1，

∴．

　　　　　 ∴左边=右边　　 ∴原等式成立．

证法6：∵＝＝＝

∴．

证法7：∵，　 ∴=

　例4已知方程的两根分别是，

求　　

解：

　　　 (化弦法)

例5已知，

求

解：

例6消去式子中的

解：由

由

　　 (平方消去法)

例7已知

解：由题设：　　 ①

　　 ②

　①/②：　 　　③

　 ①+③：

同角三角函数的基本关系公式:　

　1°“同角”的概念与角的表达形式无关，如：

　2°上述关系(公式)都必须在定义域允许的范围内成立

　3°由一个角的任一三角函数值可求出这个角的其余各三角函数值，且因为利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两解，因此应尽可能少用,若使用时,要注意讨论符号

这些关系式还可以如图样加强形象记忆：

①对角线上两个函数的乘积为1(倒数关系)

②任一角的函数等于与其相邻的两个函数的积(商数关系)

③阴影部分，顶角两个函数的平方和等于底角函数的平方(平方关系)