37．如图所示，已知A，B为椭圆和双曲线的公共顶点。P，Q分别为双曲线和椭圆上不同于A、B的动点，且有，设AP，BP，AQ，BQ的斜率分别为。

(Ⅰ)求证；；

(Ⅱ)设分别为椭圆和双曲线的右焦点，

若 PF₂∥QF₁　 ，求的值。

解(Ⅰ)：设点P，Q的坐标分别为

则，即

所以

类似地

设O为原点，则

∵　 ∴， ∴三点O，P，Q共线

∴，由①②得

(Ⅱ)证明：因点Q在椭圆上，有

由知

即，从而……③

又点P在双曲线上，有…………④

由③④解得

因，∴，故

所以

由①得

同理

另一方面

类似地

所以

36．已知：=(c，0)(c>0),,最小值为1.若动点P同时满足下列条件①②其中③动点P的轨迹C过点B(0,-1).

(1)　　 求c的值;

(2)　　 求曲线C的方程;

(3)　　 过点M(0,2)的直线与曲线C的轨迹交于A,B两点,求的取值范围.

解:(1) ,

当时, 的最小值为1,,,.　　　

(2),, 曲线C的方程为.

(3)设直线的方程为:.(*)

由得:

,又,.

当k不存在时, =3,所以.　　

35．已知一次函数f(x)的图像关于直线x-y=0对称的图像为C，且f(-1)=0，若点(n+1，在曲线C上，并有。

(1)　　　 求曲线C的方程；

(2)　　　 求数列的通项公式；

(3)　　　 设，若恒成立，求实数M的取值范围。

解：(1)设f(x)=kx+b(k0)，则曲线C的方程为。

f(-1)=0,-k+b=0　　 ①

又点(n+1，在曲线C上，即(2，1)在曲线上。

　　 ②　　　　 由①②得：k=b=1　　　　　 C：x-y-1=0。

(2)点(n+1，在曲线C上，，而。

，

(3)。

关于n单调增。。

故恒成立，则

34．已知函数，且函数的图像关于原点对称，其图像在x=3处的切线方程为8x-y-18=0。

(1)　　　 求的解析式；

(2)　　　　　 是否存在区间[a，b]，使得函数g(x)的定义域和值域均为[a，b]，且解析式与的解析式相同？若存在，求出这样的一个区间[a，b]；若不存在，请说明理由。

解：(1)的图像关于原点对称，恒成立，即恒成立，。，

又的图像在x=3处的切线方程为，

即，据题意得：解得：，

(2)由得x=0或。

又，由得，且当或时，，当时。

所以，函数在和上递增，在上递减。

于是，函数在上的极大值和极小值分别为

，而，

故存在这样的区间[a，b]，其中满足条件的一个区间

33．曲线有极小值，当处有极大值，且在x=1处切线的斜率为.

(1)求；

(2)曲线上是否存在一点P，使得y=的图象关于点P中心对称？若存在，请求出点P坐标，并给出证明；若不存在，请说明理由.

解:f′(x)=3ax²+2bx+c　　 ∵当x=1±时　 f(x)有极小值及极大值

∴f′(1±)=0　 即1±为3ax²+2bx+c=0两根

∴b=－3a , c=－6a　

又∵f(x)在x=1处切线的斜率为

(2)假设存在P(x₀, y₀)，使得f(x)的图象关于P中心对称，

则f(x₀+x)+f(x₀－x)=2y­₀　　　　　　　　　　　　　　　　　　

即－(x₀+x)³+(x₀+x)²+x₀+x－(x₀－x)³+(x₀－x)²+x₀－x=2y₀

化解得

∵对于任意x∈R等式都成立

∴x₀=1, y₀=.易知P(1，)在曲线y=f(x)上.

∴曲线上存在P(1，)使得f(x)的图象关于中心对称

32．如图，平面PAD平面ABCD，PAD是正三角形，

ABCD是矩形，M是AB的中点，PC与平面ABCD成角。

(1)　　　 求的值；

(2)　　　 求二面角P-MC-D的大小；

(3)　　　 当AD的长为多少时，点D到平面PMC的距离为2。

解：(1)取AD中点H，则，面PAD平面ABCD，

面ABCD，PC与面ABCD所成的角为。

设AD=a，则，，。　

(2)连结HM，由∽可得：。

，由三垂线定理得，

是二面角P-MC-D的平面角。

，。

二面角P-MC-D的平面角为　

由可得：AD=。

31．已知ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AD=2.

　 (Ⅰ)求PC与平面PBD所成的角；

　 (Ⅱ)求点D到平面PAC的距离；

　 (Ⅲ)在线段PB上是否存在一点E，使PC⊥平面ADE？

　　　　 若存在，确定E点的位置，若不存在，说明理由.

解：　 (Ⅰ)设AC与BD相交于点O，连接PO。

∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD。

又∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC。

∵BD∩PD=D，　 ∴AC⊥平面PBD。

∴∠CPO为PC与平面PBD所成的角。

∵PD=AD=2，则OC=，PC=2。

　 在Rt△POC中，∠POC=90°，

∴

∴PC与平面PBD所成的角为30°

　(Ⅱ)过D做DF⊥PO于F，∵AC⊥平面PBD，

DF平面PBD， ∴AC⊥DF。

　 又∵PO∩AC=O， ∴DF⊥平面PAC。

在Rt△PDO中，∠PDO=90°，

∴PO·DF=PD·DO。　　 ∴　

(Ⅲ)假设存在E点，使PC⊥平面ADE.

　　　 过E在平面PBC内做EM∥PC交BC于点M，

　　　 连接AE、AM.

　　　 由AD⊥平面PDC可得AD⊥PC.　　 ∵PC∥EM，∴AD⊥EM.

　　　 要使PC⊥平面ADE，即使EM⊥平面ADE.　　 即使EM⊥AE.

设BM=，则EM=，EB=.　 在△AEB中由余弦定理得AE²=4+3－4

　　　 在Rt△ABM中，∠ABM=90°.　 ∴AM²=4+.

　　　 ∵EM⊥AE，∴4+=4+3－4+2.　 ∴－=0. ∵，∴=1.

∴E为PB的中点，即E为PB的中点时，PC⊥平面ADE.　

30．某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需要面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管与其费用为平均每天3元，购买面粉每次支付运费900元。

(1)　　　 求该厂多少购买一次面粉才能使平均每天支付的总费用最小；

(2)　　　 若提供面粉的公司规定，当一次购买面粉不少210吨时其价格可享受九折惠(即原价的90%)。问该厂是否考虑利用此优惠条件，请说明理由。

解(1)设该厂应隔x天购买一次面粉，其购买量为6x吨，则面粉的保管与其它费用

，平均每天支出的费用为，则

即每隔10天购买一次才能使平均每天支付的总费用最小。

(2)若厂家利用此优惠条件，则至少35天购买一次面粉，设该厂利用此优惠条件，每隔x天(x) 购买一次面粉，平均每天支出的费用为。

利用单调性可证在上递增。

时取得最小值，即，

该厂应接受此优惠条件。

29． 某人抛掷一枚硬币，出现正反的概率都是，构造数列，使得，记。

(1)　　　 求的概率；

(2)　　　 若前两次均出现正面，求的概率。

解：(1)，需4次中有3次正面1次反面，设其概率为

则

(2)6次中前两次均出现正面，要使，则后4次中有2次正面、2次反面或3次正面、1次反面。设其概率为。

28．已知

且(1)求；　 (2)求

解：(1)由　

(2)由

则

　　　　 由

　　　　 在时，　　

　　 矛盾，故舍去.

在可取. 因此