6．已知实数a，b，则“ab≥2”是“a²+b²≥4”的　　　　　　　　　　　　 　(　)

A．充分不必要条件　　　　　 　B．必要不充分条件

C．充要条件 　　　　　　　　　D．既不充分也不必要条件

解析：当ab≥2时，a²+b²≥2ab≥4，故充分性成立，而a²+b²≥4时，当a＝－1，b＝3时成立，但ab＝－3＜2，显然ab≥2不成立，故必要性不成立．

答案：A

5．给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：

①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＝0⇒a＝b”；

②“若a，b，c，d∈R，则复数a+bi＝c+di⇒a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a+b＝c+d⇒a＝c，b＝d”；

③“若a，b∈R，则a－b＞0⇒a＞b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＞0⇒a＞b”．

其中类比得到的结论正确的个数是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．0　 　　　　　　B．1 　　　　　　C．2 　　　　　　　　D．3

解析：①②是正确的，③是错误的，因为复数不能比较大小，如a＝5+6i，b＝4+6i，虽然满足a－b＝1＞0，但复数a与b不能比较大小．

答案：C

4．若集合A＝{x||2x－1|＜3}，B＝{x|＜0}，则A∩B是　　　　　　　　　 (　)

A．{x|－1＜x＜－或2＜x＜3}　　　　 B．{x|2＜x＜3}

C．{x|－＜x＜2}　　　　　　　　　 　D．{x|－1＜x＜－}

解析：∵|2x－1|＜3，∴－3＜2x－1＜3.∴－1＜x＜2.

又∵＜0，∴(2x+1)(x－3)＞0，

∴x＞3或x＜－.∴A∩B＝{x|－1＜x＜－}．

答案：D

3．已知函数f(x)＝，若f(x)≥1，则x的取值范围是　　　　　　 (　)

A．(－∞，－1]　 　　　　　　　B．[1，+∞)

C．(－∞，0]∪[1，+∞) 　　　　D．(－∞，－1]∪[1，+∞)

解析：将原不等式转化为：或，从而得x≥1或x≤－1.

答案：D

2．下列命题中的真命题是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd　 　　　B．若|a|＞b，则a²＞b²

C．若a＞b，则a²＞b²　 　　　　　　D．若a＞|b|，则a²＞b²

解析：由a＞|b|，可得a＞|b|≥0⇒a²＞b².

答案：D

1．不等式(x+1)≥0的解集是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　)

A．{x|x＞1}　　　　B．{x|x≥1}

C．{x|x≥1或x＝－1} 　　　D．{x|x≥－1或x＝1}

解析：∵≥0，∴x≥1.

同时x+1≥0，即x≥－1.∴x≥1.

答案：B

21． (本小题满分14分)设椭圆ax²+by²＝1与直线x+y－1＝0相交于A、B两点，点C是AB的中点，若|AB|＝2，OC的斜率为，求椭圆的方程．

解：设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，那么A、B的坐标是方程组的解．

由ax+by＝1，ax+by＝1，两式相减，得

a(x₁+x₂)(x₁－x₂)+b(y₁+y₂)(y₁－y₂)＝0，

因为＝－1，

所以＝，

即＝，＝＝，所以b＝a.　　　　　　　　　　　　　　 ①

再由方程组消去y得(a+b)x²－2bx+b－1＝0，

由|AB|＝＝

＝＝2，

得(x₁+x₂)²－4x₁x₂＝4，即()²－4·＝4.　　　　　　　　　 ②

由①②解得a＝，b＝，

故所求的椭圆的方程为+＝1.

20．(本小题满分13分)已知A、B、D三点不在一条直线上，且A(－2,0)，B(2,0)，||＝2，＝(+)．

(1)求E点的轨迹方程；

(2)过A作直线交以A、B为焦点的椭圆于M，N两点，线段MN的中点到y轴的距离为，且直线MN与E点的轨迹相切，求椭圆的方程．

解：(1)设E(x，y)，由＝(+)，可知E为线段BD的中点，

又因为坐标原点O为线段AB的中点，

所以OE是△ABD的中位线，

所以||＝||＝1，

所以E点在以O为圆心，1为半径的圆上，

又因为A，B，D三点不在一条直线上，

所以E点不能在x轴上，

所以E点的轨迹方程是x²+y²＝1(y≠0)．

(2)设M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，中点为(x₀，y₀)，椭圆的方程为+＝1，直线MN的方程为y＝k(x+2)(当直线斜率不存在时不成立)，

由于直线MN与圆x²+y²＝1(y≠0)相切，

所以＝1，解得k＝±，

所以直线MN的方程为y＝±(x+2)，

将直线y＝±(x+2)代入方程+＝1，

整理可得：4(a²－3)x²+4a²x+16a²－3a⁴＝0，

所以x₀＝＝－.

又线段MN的中点到y轴的距离为，

即x₀＝－＝－，解得a＝2.

故所求的椭圆方程为+＝1.

19．(本小题满分12分)已知圆(x－2)²+(y－1)²＝，椭圆b²x²+a²y²＝a²b²(a>b>0)的离心率为，若圆与椭圆相交于A、B，且线段AB是圆的直径，求椭圆的方程．

解：∵e＝＝＝，∴a²＝2b².

因此，所求椭圆的方程为x²+2y²＝2b²，

又∵AB为直径，(2,1)为圆心，即(2,1)是线段AB的中点，

设A(2－m,1－n)，B(2+m,1+n)，则

⇒

⇒得2b²＝16.

故所求椭圆的方程为x²+2y²＝16.

18．(本小题满分12分)(2010·南通模拟)已知动圆过定点F(0,2)，且与定直线L：y＝－2相切．

(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；

(2)若AB是轨迹C的动弦，且AB过F(0,2)，分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q，证明：AQ⊥BQ.

解：(1)依题意，圆心的轨迹是以F(0,2)为焦点，L：y＝－2为准线的抛物线．

因为抛物线焦点到准线距离等于4，

所以圆心的轨迹是x²＝8y.

(2)证明：因为直线AB与x轴不垂直，

设AB：y＝kx+2.

A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．

由

可得x²－8kx－16＝0，x₁+x₂＝8k，x₁x₂＝－16.

抛物线方程为y＝x²，求导得y′＝x.

所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是k₁＝x₁，k₂＝x₂，k₁k₂＝x₁·x₂＝x₁·x₂＝－1.

所以AQ⊥BQ.