例7．已知a＞0且a≠1,试求使方程log(x-ak)=log(x-a)

有解的实数k的取值范围。

解：原方程等价于0＜x-ak＝

构造曲线C:y=,直线L:y= x-ak

从而使问题转化为直线L和双曲线C:x-y=a(y≥0)x轴上半部分有交点，求实数k的取值范围,如图所示：

有三条临界直线L、L、L

①　　 当L在L和L之间时，直线L在y轴上的截距

②　　 －ak满足－a＜－ak＜0时L与C有一个交点，

解之可得0＜k＜1

③　　 当L在L上方时，直线L在y轴上的截距－ak满

足a＜－ak时L与C有一个交点，

解之可得k＜－1

　 综合①②可得，所求k的取值范围是

例8．求函数y=+的值域。

解：设m=,　　 n=,　 则m+n=16 (0≤m≤4,0≤n≤2)

原函数可变形为y=m+n,　 y表示直线在n轴上的截距，结合图形可知

y=2,　 y=2

点评：这两道题目可以建立目标函数，然后利用求函数最值的方法解决，但利用圆锥曲线定义数形结合求解，事半功倍，迅速而准确。

例6．已知sin+sin=,　 cos+cos=，　 求tan(+)的值

解:点A(cos，sin)B(cos ,sin)

都在单位圆上，由已知可知A和B的中点C坐标

　(,),则直线AB过定点C

∠xOC= +=

∴tan∠xOC= tan =

∴tan(+)==

点评：另外，单位圆中的三角函数线可以辅助解决三角不等式(组)问题。

求含有两个变量的线性式子的最值，可以构造直线方程，利用截距的意义解决问题。这一应用在线性规划中体现的很充分---求线性目标函数的最值。

例5．已知x,y满足条件＝1，求y-3x的最小值和最大值

解：令y-3x=b,　 即y=3x+b

由联立可得： 169+966y+16b-400=0,令⊿≥0得：

－13≤b≤13

∴y-3x的最小值和最大值分别是－13和13。

求通过变形可以出现的模式的式子的最值问题，可以优先考虑两点间的距离公式的利用

例4．函数y=的最小值为　　　　　 。

解析：函数可化为y=-

这个式子表示P(x,0)到点A(6,4)和点B(2,1)的差，

由右图可知，当P、A、B三点共线时，

︱PA︱-︱PB︱≤︱AB︱,　 ︱AB︱=5

函数取得最大值为5

提示：a+b＝()＝(),表示点(a,b)到原点的距离。

分式型的最值问题可以通过变形,利用斜率公式解决。

例3．函数y=最大值是　　　　 　，最小值是　　　　　　 　。

解：函数解析式表示经过A(－cosx,sinx)和B(2，3)两点连线的斜率k，A在单位圆x+y=1上，经过A和B两点的直线方程为y-3=k(x-2)

即kx-y+3-2k=0,由直线和圆的位置关系得≤1解之可得; 　≤k≤　　　　　 　　　　　　　　

所以函数得最大值是最小值是。

例1．(1)(2003上海春，5)已知集合A={x||x|≤2，x∈R}，B={x|x≥a}，且AB，则实数a的取值范围是_____.

解析：(1)a≤－2；

∵A={x|－2≤x≤2}，B={x|x≥a}，又AB，利用数轴上覆盖关系，

因此有a≤－2.

点评：利用韦恩图和数轴可以直观地解决集合问题

韦恩图是解决集合运算问题常用的工具，还可证明一些常用的恒等式，如A∩B=A∪BA=B,A=A∩BABB=A∪B，C(A∩B)= CA∪CB, C(A∪B)= CA∩CB等。

例1.某班50人中，参见数学竞赛的25人，参加化学竞赛的32人，求既参加数学竞赛又参加化学竞赛的人数的最大值和最小值。

解：设两科都参加的人数是x人，则参加化学竞赛和参加数学竞赛的人数分别是32-x,25-x

根据题意的实际意义得：，解不等式可得

7≤x≤25

∴两科都参加得人数的最大值是25和最小值是7

29.(12分) 某实验小组用通过右图装置合成乙酸乙酯。在图中蒸馏烧瓶A内加入乙醇、浓硫酸和无水乙酸，加热一段时间后即可在锥形瓶内得到乙酸乙酯粗产品。

请回答下列问题：

(1) 在蒸馏烧瓶A中除加入乙醇、浓硫酸和无水乙酸外，还应放入碎瓷片，其目的是　　　　　　　　　　 。蒸馏烧瓶A中发生的反应的化学方程式为　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　。

(2)收集产品时，不使用玻璃导管，而使用仪器B的原因是　　　　　　　　　　 。

(3)实验中加热保持沸腾的主要目的有　　　　　　　　　 ，　　　　　　　　 。

(4)锥形瓶内收集的乙酸乙酯粗产品中所含杂质主要有　　　　　　　　　　　 。

现拟通过以下操作步骤从所得粗产品中分离出各成分。(分离后允许含有少量水)。

操作一的名称是　　　　　　 ，在C中加入的试剂a是　　　　　　　　　　　　　 ，

操作三的名称是　　　　　　　　 。进行操作二后所得的E物质是 　　　　　　　　。　　　　　　　　　

28.(12分) A~I 九种有机物的转化关系如图所示。

3．

(1) A的结构简式为　　　　　　　　　　　　　 。

(2) ①E→F反应的化学方程式为：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 。

②C₄H₈O₂与热的NaOH溶液反应的化学方程式为：　　　　　　　　　　　　　 。

(3) 在一定条件下，由F经一步或若干步可合成六元环X。若X的分子式为C₄H₈O₂，则F的结构简式为　　　　　　　　　　　　 ；若X的分子式为C₄H₄O₄，则最后一步反应的化学方程式为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　。