54、（北京朝阳区2008年一模）地球绕太阳的轨道可以认为是圆，已知地球的半径为R，地球赤道表面的重力加速度为g，地球绕太阳运转的周期为T，从太阳发出的光经过时间t₀到达地球，光在真空中的

解：地球绕太阳做匀速圆周运动，设运动半径为r，角速度为ω，有：（2分）

    （3分）

    （1分）

    （3分）

    设地球赤道上小物体的质量为m₀，有：（2分）

    （5分）

    （4分）

53、（北京市西城区2008年抽样测试）（8分）2007年10月31日，我国将“嫦娥一号”卫星送入太空，经过3次近月制动，卫星于11月7日顺利进入环月圆轨道。在不久的将来，我国宇航员将登上月球。为了测量月球的密度，宇航员用单摆进行测量：测出摆长为l，让单摆在月球表面做小幅度振动，测出振动周期为T。已知引力常量为G，月球半径为R，将月球视为密度均匀的球体。求：

   （1）月球表面的重力加速度g；

   （2）月球的密度ρ。

解：（1）根据单摆周期公式                                         （2分）

    解得                                                                       （1分）

   （2）在月球表面                                                 （2分）

                                                                  （2分）

    解得                                                                     （1分）

52、（06江苏卷） （14分）如图所示，A是地球的同步卫星。另一卫星 B的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为 h。已知地球半径为 R，地球自转角速度为ω₀，地球表面的重力加速度为 g，O为地球中心。

（1）求卫星B的运行周期。

（2）如卫星B绕行方向与地球自转方向相同，某时刻 A、B两卫星相距最近（O、B、A在同一直线上），则至少经过多长时间，他们再一次相距最近？

（Ⅰ）由万有引力定律和向心力公式得

………………………………………………①

………………………………………………②

联立①②得 ……………………………………………③

（2）由题意得 ………………………………………………④

由③得  ………………………………………………⑤

代入④得

51、（06天津卷）11（22分）神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律。天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX-3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成。两星视为质点，不考虑其它天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所示。引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率和运行周期T。

（1）可见星A所受暗星B的引力可等效为位于O点处质量为的星体（视为质点）对它的引力，设A和B的质量分别为、，试求（用、表示）；

（2）求暗星B的质量与可见星A的速率、运行周期T和质量之间的关系式；

（3）恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量的2倍，它将有可能成为黑洞。若可见星A的速率，运行周期，质量，试通过估算来判断暗星B有可能是黑洞吗？

（）

（1）设A、B的圆轨道半径分别为、，由题意知，A、B做匀速圆周运动的角速度相同，设其为。由牛顿运动定律，有

设A、B之间的距离为，又，由上述各式得

 ①   

由万有引力定律，有，将①代入得   

令     比较可得 ②

（2）由牛顿第二定律，有 ③

又可见星A的轨道半径  ④

由②③④式解得  ⑤

（3）将代入⑤式，得

代入数据得 ⑥

设，将其代入⑥式，得 ⑦

可见，的值随的增大而增大，试令，得

 ⑧

若使⑦式成立，则必大于2，即暗星B的质量必大于2，由此得出结论：暗星B有可能是黑洞。

50、（06四川卷）(16分)

荡秋千是大家喜爱的一项体育活动。随着科技的迅速发展，将来的某一天，同学们也许会在其它星球上享受荡秋千的乐趣。假设你当时所在星球的质量是M、半径为R,可将人视为质点，秋千质量不计、摆长不变、摆角小于90°，万有引力常量为G。那么，

(1)  该星球表面附近的重力加速度g_星等于多少？

(2)   若经过最低位置的速度为v₀,你能上升的最大高度是多少？

(1)设人的质量为m,在星球表面附近的重力等于万有引力，有

mg_星=                 ①

解得     g_星=                      ②

(3)  设人能上升的最大高度为h,由功能关系得

mg_星h=                ③

解得  h=                    ④

⑶设地球质量为M，地球半径为r₀，地球上物体的重力可视为万有引力，探测器上物体质量为m₀，在地球表面重力为G₀，距土星中心r₀^/＝3.2×10⁵ km处的引力为G₀^/，根据万有引力定律：

解得：

⑶土星探测器上有一物体，在地球上重为10 N，推算出他在距土星中心3.2×10⁵ km处受到土星的引力为0.38 N。已知地球半径为6.4×10³ km，请估算土星质量是地球质量的多少倍？

解：⑴设土星质量为M₀，颗粒质量为m，颗粒距土星中心距离为r，线速度为v，根据牛顿第二定律和万有引力定律：

解得：

对于A、B两颗粒分别有： 和

得：

⑵设颗粒绕土星作圆周运动的周期为T，则：

对于A、B两颗粒分别有： 和 

得：

49、（07广东卷）（12分）土星周围有许多大小不等的岩石颗粒，其绕土星的运动可视为圆周运动。其中有两个岩石颗粒A和B与土星中心距离分别为r_A＝8.0×10⁴ km和r _B＝1.2×10⁵ km。忽略所有岩石颗粒间的相互作用。（结果可用根式表示）

⑴求岩石颗粒A和B的线速度之比；

⑵求岩石颗粒A和B的周期之比；

48、（07上海） （10分）宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处。（取地球表面重力加速度g＝10 m/s²，空气阻力不计）

⑴求该星球表面附近的重力加速度g^/；

⑵已知该星球的半径与地球半径之比为R_星:R_地＝1:4，求该星球的质量与地球质量之比M_星:M_地。

解：⑴

故：

⑵，所以

可解得：M_星:M_地＝1´1²:5´4²＝1:80，

47、（08宁夏卷）23.（15分）天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。双星系统在银河系中很普遍。利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量。已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T，两颗恒星之间的距离为r，试推算这个双星系统的总质量。（引力常量为G）

解析：设两颗恒星的质量分别为m₁、m₂，做圆周运动的半径分别为r₁、r₂，角速度分别为w₁,w₂。根据题意有

                            w₁=w₂                                                                                                                                                                                  ①

                                                        r₁+r₂=r                                                                                        ②

根据万有引力定律和牛顿定律，有

                            G                                                                      ③

G                                                                      ④

联立以上各式解得

                                                                            ⑤

根据解速度与周期的关系知

                                                                                                       ⑥

联立③⑤⑥式解得

                                                                                                ⑦