Question

在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+x+c经过直线y=2x+4与坐标轴的两个交点B、C，它与x轴的另一个交点为A，点N是抛物线对称轴与x轴的交点，点M为线段AB上的动点。
（1）求抛物线的解析式及点A的坐标；
（2）如图（1），若过动点M的直线ME∥BC交抛物线对称轴于点E，试问抛物线上是否存在点F，使得以点M，N，E，F为顶点组成的四边形是平行四边形，若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由；
（3）如图（2），若过动点M的直线MD∥AC交直线BC于点D，连接CM，当△CDM的面积最大时，求点M的坐标。

Answer 1

解：（1）∵直线y=2x+4与坐标轴交点B、C的坐标分别是（-2，0）、（0，4） ， 解得a=-，c=4， ∴抛物线解析式y=-x2+x+4， ∴抛物线与x轴的另一个交点A的坐标是（4，0）； （2）由（1）可知，点N坐标为（1，0），设点M（m，0）， ∵直线ME∥BC， ∴直线M的解析式为y=2（x-m）=2x-2m， 将x=1代入上式，得y=2-2m， ∴E（1，2-2m） 假设存在点F，使得以点M，N，E，F为顶点组成的四边形是平行四边形，  ∴F（2-m，2-2m）或F（m，2-2m）， ∵F点在抛物线上， ∴2-2m=-（2-m）2+2-m+4或2-2m=-m2+m+4， 整理，得m2-6m-4=0， 解之，得m ∵点M为线段AB上的动点， ∴-2＜m＜4； ∴ ∴
（3）如图DE⊥x轴于点E，设 M（x，0），则BM=x+2， ∵DM∥CA， ∴△DM∽△BCA， ∴ 即DE=（x+2）=x+ S△CDM=S△BCM-S△BDM =BM·CO-BM·DE =（x+2）×4-（x+2）（x+） =-（x-1）2+3 ∵点M为线段AB上的动点， ∴-2＜x＜4， ∴当x=1时，S最大值=3，此时M（1，0）。