Question

如图(1)所示，已知：在△ABC中，AE平分∠BAC，∠C＞∠B，F为AE上一点，且FD⊥BC于D． (1) 求证：∠EFD＝(∠C－∠B)． (2) 若当F在AE的延长线上时，如图(2)所示，其余条件不变，(1)中的结论还成立吗?请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	证明：过A作AG⊥BC，垂足为G． 　　又∵FD⊥BC， 　　∴FD∥AG． 　　∴∠DFE＝∠EAG． 　　又∵AE平分∠BAC，∴∠EAC＝BAC． 　　又∠B＋∠C＋∠BAC＝， 　　∴∠EAC＝(－∠B－∠C)． 　　又∵∠CAG＋∠C＝， 　　∴∠CAG＝－∠C． 　　∴∠EAG＝∠EAC－∠CAG＝(－∠B－∠C)－(－∠C)＝(∠C－∠B)． 　　∴∠EFD＝(∠C－∠B)．
(2)	(1)中的结论还成立． 　　理由：过A作AG⊥BC；垂足为G． 　　同理可得∠EFD＝∠EAG． 　　根据(1)的思路同理可证(2)中的∠EAG＝(∠C－∠B)所以∠EFD＝(∠C－∠B)． 　　分析：(1)此题要找∠EFD与∠B、∠C的关系可做辅助线．过A作AG⊥BC，垂足为G，则∠EFD与∠EAG相等，因此我们只须找∠EAG与∠B、∠C之间的关系即可．而∠EAC＝∠BAC＝[－(∠B＋∠C)]，∠CAG＝－∠C．所以∠EAG＝∠EAC－∠CAG＝(∠C－∠B)． 　　(2)此题与第(1)小题证明相同．只要求出∠EAG＝(∠C－∠B)．再由∠DFE＝∠EAG．同样可得出相同的结论． 　　点拨：从此题我们会发现，当改变某一位置使图形发生变化，但已知条件不变的情况下，得出的结论仍然不变，从中训练学生通过变式、变形提高解题方法和技巧．