Question

在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝－x²＋bx＋c与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧)，与y轴的正半轴交于点C，顶点为E．

(Ⅰ)若b＝2，c＝3，求此时抛物线顶点E的坐标；

(Ⅱ)将(Ⅰ)中的抛物线向下平移，若平移后，在四边形ABEC中满足

S_△BCE＝S_△ABC，求此时直线BC的解析式；

(Ⅲ)将(Ⅰ)中的抛物线作适当的平移，若平移后，在四边形ABEC中满足S_△BCE＝2S_△AOC，且顶点E恰好落在直线y＝－4x＋3上，求此时抛物线的解析式

Answer 1

答案：
解析：

　　(Ⅰ)当，时，抛物线的解析式为，即．

　　∴抛物线顶点的坐标为(1，4)．2分

　　(Ⅱ)将(Ⅰ)中的抛物线向下平移，则顶点在对称轴上，有，

　　∴抛物线的解析式为()．

　　∴此时，抛物线与轴的交点为，顶点为．

　　∵方程的两个根为，，

　　∴此时，抛物线与轴的交点为，．

　　如图，过点作EF∥CB与轴交于点，连接，则S_△BCE＝S_△BCF．

　　∵S_△BCE＝S_△ABC，

　　∴S_△BC＝S_△ABC．

　　∴．

　　设对称轴与轴交于点，

　　则．

　　由EF∥CB，得．

　　∴Rt△EDF∽Rt△COB．有．

　　∴．结合题意，解得．

　　∴点，．

　　设直线的解析式为，则

　　解得

　　∴直线的解析式为．　　6分

　　(Ⅲ)根据题意，设抛物线的顶点为，(，)

　　则抛物线的解析式为，

　　此时，抛物线与轴的交点为，

　　与轴的交点为，．()

　　过点作EF∥CB与轴交于点，连接，

　　则S_△BCE＝S_△BCF．

　　由S_△BCE＝2S_△AOC，

　　∴S_△BCF＝2S_△AOC．得．

　　设该抛物线的对称轴与轴交于点．

　　则．

　　于是，由Rt△EDF∽Rt△COB，有．

　　∴，即．

　　结合题意，解得．①

　　∵点在直线上，有．②

　　∴由①②，结合题意，解得．

　　有，．

　　∴抛物线的解析式为．10分