Question

12、如图，正方形ABCD的三边中点E、F、G．连ED交AF于M，GC交DE于N，下列结论①GM⊥CM；②CD=CM；③四边形MFCG为等腰梯形；④∠CMD=∠AGM．
其中正确的有（　　）

A、①②③

B、①②④

C、①③④

D、①②③④

Answer 1

分析：要证以上问题，需证CN是DN是垂直平分线，即证N点是DM中点，利用中位线定理即可

解答：解：∵由已知，AG∥FC且AG=FC，
故四边形AGFC为平行四边形，
∴∠GAF=∠FCG又AE=BF，AD=AB，且∠DAE=∠ABF，
可知∠ADE=∠BAF
∴∠DE⊥AF，DE⊥CG．
又∵G点为中点，∴GN为△ADM的中位线，即CG为DM的垂直平分线，
可证CD=CM，∴∠CDG=∠CMG，即GM⊥CM．
又∠MGN=∠DGC=∠DAF（外角等于内对角），∴∠FCG=∠MGC．
故选A．

点评：在正方形中对中点问题的把握和运用，灵活运用几何图形知识．