Question

在平面直角坐标系中，A点的坐标为（0，4），C点的坐标为（10，0）．
（1）如图1，若直线AB∥OC，点D是线段OC的中点，点P在射线AB上运动，当△OPD是腰长为5的等腰三角形时，直接写出点P的坐标；
（2）如图2，若直线AB与OC不平行，AB所在直线y=-x+4上是否存在点P，使△OPC是直角三角形，且∠OPC=90°，若有这样的点P，求出它的坐标，若没有，请简要说明理由．

Answer 1

分析：（1）如图，满足条件的有三种情况：当P₁D=OD=5时，点P₁的坐标为（2，4）；当OP₂=OD，点P₂的坐标为（3，4）；当DP₃=OD=5时，点P₃的坐标为（8，4）
（2）如图，设出点P的坐标，过点P作PH⊥OC于点H，由△OPH∽△PCH得到

PH

CH

=

OH

PH

建立方程求解．

解答：解：（1）P₁（3，4），P₂（2，4），P₃（8，4）；

（2）设点P的坐标为（a，-a+4），过点P作PH⊥OC于点H，
∵∠OPC=90°，

CH

OH

=

PC

PO

，
∴△OPH∽△PCH．
∴

PH

CH

=

OH

PH

即PH²=OH．CH．
∵（-a+4）²=a（10-a），
∴a²-8a+16=10a-a²，
∴2a²-18a+16=0，解得a₁=1，a₂=8．
∴P₁（1，3），P₂（8，-4）．

另法：由题意可设p（a，-a+4），
∵∠OPC=90°；C（10，0），
∴OC中点D为（5，0），
DP=

1

2

OC=5，
∴由两点间距离公式得 DP²=（5-a）²+（4-a）²=25，
解得a=1或8；
-a+4=3或-4，
即存在点P（1，3）或（8，-4）．

点评：本题利用了勾股定理和相似三角形的性质求解．