Question

在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（-1，0），如图所示，抛物线y=a²+ax-2经过点B。

（1）求点B的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）过点B作BD⊥x，垂足为D， ∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠OAC=90° ∴∠BCD=∠CAO 又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC ∴△BCD≌△CAO ∴BD=OC=1，CD=OA=2 ∴点B的坐标为（-3，1）；
（2）抛物线y=ax2+ax-2经过点B（-3，1），则得到1=9a-3a-2，解得a=， 所以抛物线的解析式为y=；
（3）①若以点C为直角顶点；则延长BC至点P1，使得P1C=BC， 得到等腰直角三角形△ACP1，过点P1作P1M⊥x轴， ∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCD，∠P1MC=∠BDC=90°， ∴△MP1C≌△DBC， ∴CM=CD=2，P1M=BD=1，可求得点P1（1，-1）； 经检验点P1（1，-1）在抛物线上，使得△ACP1是等腰直角三角形 ②若以AC为直角边，点A为直角顶点；则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC， 得到等腰直角三角形△ACP2，过点P2作P2N⊥y轴，同理可证△AP2N≌△CAO， ∴NP2=OA=2，AN=OC=1，可求得点P2（2，1），经检验，点P1（1，-1）与点P2（2，1）都在抛物线上，使得△ACP2也是等腰直角三角形。