Question

已知抛物线的方程为y²=4x，直线l过定点P（-2，1），斜率为k，k为何值时，直线l与抛物线y²=4x只有一个公共点、有两个公共点、没有公共点？

Answer 1

分析：用解析法解决这个问题，只要讨论直线l的方程与抛物线的方程组成的方程组的解的情况，由方程组解的情况判断直线l与抛物线的位置关系.

解：由题意，设直线l的方程为y-1=k(x+2).

由方程组可得ky²-4y+4(2k+1)=0,①

（1）当k=0时，由方程①得y=1，把y=1代入y²=4x，得x=,这时，直线l与抛物线只有一个公共点（，1）.

（2）当k≠0时，方程①的判别式为Δ=-16（2k²+k-1）.

①由Δ=0,即2k²+k-1=0，解得k=-1或k=,于是,当k=-1或k=时，方程①只有一个解，从而方程组（*）只有一个解.这时，直线l与抛物线只有一个公共点.

②由Δ＞0，即2k²+k-1＜0,解得-1＜k＜.于是,当-1＜k＜,且k≠0时，方程①有两个解，从而方程组（*）有两个解.这时，直线l与抛物线有两个公共点.

③由Δ＜0，即2k²+k-1＞0,解得k＜-1，或k＞，于是当k＜-1或k＞时，方程①没有实数解，从而方程组（*）没有解.这时，直线l与抛物线没有公共点.综上，我们可得

当k=-1，或k=，或k=0时，直线l与抛物线只有一个公共点；

当-1＜k＜，且k≠0时，直线l与抛物线有两个公共点；

当k＜-1,或k＞时，直线l与抛物线没有公共点.

点拨：研究曲线公共点个数，主要是依据方程组解的情况来判定，特别是直线与曲线公共点个数问题，多用判别式来研究，特别要注意的是对二次项系数是否为零要加以讨论.