Question

已知函数（a≥0）．
（I）当a=1时，求f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）在[0，2]上的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用导数的几何意义即可求出切线的斜率，再利用点斜式即可求出切线的方程；
（Ⅱ）先求出函数f（x）的导数，通过对a分类讨论得出其单调性，进而即可求出其最小值．
解答：解：（I） 当a=1时，，∴，f（3）=0，
∴f（x）在点（3，f（3））处的切线的斜率f^′（3）=，切点（3，0），
因此其切线方程为，即3x-4y-9=0．
（ II）x≠-1，，
①当a=0时，在（0，2]上导函数，所以f（x）在[0，2]上递增，可得f（x）的最小值为f（0）=0；
②当0＜a＜2时，导函数f'（x）的符号如下表所示

x	[0，a）	a	（a，2]
f'（x）	-		+
f（x）	单调递减	极小值	单调递增

所以f（x）的最小值为；
③当a≥2时，在[0，2）上导函数f'（x）＜0，∴f（x）在[0，2]上递减，
∴f（x）的最小值为．
综上可知：①当a=0时，f（x）的最小值为f（0）=0；
②当0＜a＜2时，f（x）的最小值为f（a）=-a²；
③当a≥2时，f（x）的最小值为f（2）=．
点评：熟练掌握利用导数研究函数的最值的方法及其几何意义、分类讨论的思想方法是解题的关键．