Question

某商品在近100天内，商品的单价f（t）（元）与时间t（天）的函数关系式如下：f(t)=

at+b，0≤t≤40，t∈Z 32，40＜t≤100，t∈Z.

已知第20天时，该商品的单价为27元，40天时，该商品的单价为32元．
（1）求出实数a，b的值：
（2）已知该种商品的销售量与时间t（天）的函数关系式为g(t)=-

1

3

t+

112

3

(0≤t≤100，t∈Z)．求这种商品在这100天内哪一天的销售额y最高？最高为多少（精确到1元）？

Answer 1

分析：（1）根据第20天时，该商品的单价为27元，40天时，该商品的单价为32元，可建立方程组，从而求出实数a，b的值．
（2）先得销售额函数为分段函数，再分段研究函数的最值，从而求出分段函数的最值．

解答：解：（1）由题意，第20天时，该商品的单价为27元，40天时，该商品的单价为32元．
∴

f(20)=27 f(40)=32

，
∴

20a+b=27 40a+b=32

∴a=

1

4

，b=22
（2）∵该种商品的销售量与时间t（天）的函数关系式为g(t)=-

1

3

t+

112

3

(0≤t≤100，t∈Z)．
∴销售额为f(t)g(t)=

( 1 4 t+22)(- 1 3 t+ 112 3 )，0≤t≤40，t∈Z   32(- 1 3 + 112 3 )，40＜t≤100，t∈Z.

当0≤t≤40时，y=(

1

4

t+22)(-

1

3

t+

112

3

)=-

1

12

(t-12)2+

112×22

3

+12
∴t=12时，ymax=

112×22

3

+12≈833
当40＜t≤100时，y=32(-

1

3

t+

112

3

)是减函数，∴y＜32(-

1

3

×40+

112

3

)＜833
综上，当0≤t≤100时，当且仅当t=12时，y_max≈833
答：这种商品在这100天内第12天的销售额最高，最高为833元．

点评：本题的考点是函数最值的运用，考查函数模型的构建，考查分段函数的最值问题，解题时应搞清分段函数最值的求解方法．