Question

设f(x)=-x³+x²+2ax.

(1)若f(x)在(,+∞)上存在单调递增区间,求a的取值范围;

(2)当0<a<2时,f(x)在[1,4]上的最小值为-,求f(x)在该区间上的最大值.

Answer 1

解:(1)由f′(x)=-x²+x+2a=-(x-)²++2a,

当x∈[,+∞)时,f′(x)的最大值为f′()=+2a.

令+2a>0,得a>-,

所以当a>-时,f(x)在(,+∞)上存在单调递增区间.

(2)令f′(x)=0,得两根x₁=,

x₂=.

所以f(x)在(-∞,x₁),(x₂,+∞)上单调递减,在(x₁,x₂)上单调递增.

当0<a<2时,有x₁<1<x₂<4,

所以f(x)在[1,4]上的最大值为f(x₂).

又f(4)-f(1)=-+6a<0,

即f(4)<f(1),

所以f(x)在[1,4]上的最小值为f(4)=8a-=-,

得a=1,x₂=2,

从而f(x)在[1,4]上的最大值为f(2)=.