Question

设函数f(x)=x²+ax-ln x.

(1)若a=1,试求函数f(x)的单调区间.

(2)过坐标原点O作曲线y=f(x)的切线,证明:切点的横坐标为1.

Answer 1

 (1)解:a=1时,f(x)=x²+x-ln x(x>0),

所以f′(x)=2x+1-=,

x∈(0,),f′(x)<0,x∈(,+∞),f′(x)>0,

所以f(x)的减区间为(0,),增区间为(,+∞).

(2)证明:设切点为M(t,f(t)),f′(x)=2x+a-,

切线的斜率k=2t+a-,

又切线过原点k=,

=2t+a-,

即t²+at-ln t=2t²+at-1,

所以t²-1+ln t=0,

t=1满足方程t²-1+ln t=0,

由y=1-x²,y=ln x图象可知x²-1+ln x=0有唯一解x=1,切点的横坐标为1.