Question

设f(x)=3ax²+2bx+c,若a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0,求证:

(1)a>0且-2<<-1;

(2)函数y=f(x)在(0,1)内有两个零点.

Answer 1

证明:(1)因为f(0)>0,f(1)>0,

所以c>0,3a+2b+c>0.

由条件a+b+c=0,消去b,得a>c>0;

由条件a+b+c=0,消去c,得a+b<0,

2a+b>0,故-2<<-1.

(2)抛物线f(x)=3ax²+2bx+c的对称轴为x=-,

在-2<<-1的两边乘以-,

得<-<.

又因为f(0)>0,f(1)>0,

又f(-)=

=

=-

=-<0,

所以方程f(x)=0在区间(0,-)与(-,1)内分别有一实根.

故函数y=f(x)在(0,1)内有两个零点.