Question

选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=|x+1|+|x-3|．
（Ⅰ）若f（x）的最小值为a，试求a的值；
（Ⅱ）解不等式f（x）＜

1

2

x+4．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由绝对值的意义可得函数f（x）=|x+1|+|x-3|的最小值为4，从而得到a的值．
（Ⅱ）不等式即|x+1|+|x-3|＜

1

2

x+4，可得①

x＜-1 -x-1+3-x＜ 1 2 x+4

，或②

-1≤x＜3 x+1+3-x＜ 1 2 x+4

，或③

x≥3 x+1+x-3＜ 1 2 x+4

．分别求得①、②、③的解集，再取并集，即得所求．

解答：解：（Ⅰ）函数f（x）=|x+1|+|x-3|表示数轴上的x对应点到-1和3对应点的距离之和，它的最小值为4，
故a=4．
（Ⅱ）不等式f（x）＜

1

2

x+4，即|x+1|+|x-3|＜

1

2

x+4，∴①

x＜-1 -x-1+3-x＜ 1 2 x+4

，
或②

-1≤x＜3 x+1+3-x＜ 1 2 x+4

，
或③

x≥3 x+1+x-3＜ 1 2 x+4

．
解①求得x∈∅，
解②求得0＜x＜3，
解③求得3≤x＜4．
综上可得，0＜x＜4，故不等式的解集为（0，4）．

点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．