Question

已知函数f （x）=x³-3ax+1，a∈R．
（Ⅰ） 求f （x）的单调区间；
（Ⅱ） 求所有的实数a，使得不等式-1≤f （x）≤1对x∈[0，]恒成立．

Answer 1

【答案】分析：（I）根据函数解析式，求出导函数，分a≤0和a＞0两种情况，分别分析导函数的符号，进而可得不同情况下f （x）的单调区间；
（Ⅱ） 根据（I）中的结论，分a≤0，0＜a＜3和a≥3三种情况分析不等式-1≤f （x）≤1对x∈[0，]是否恒成立，综合讨论结果，可得答案．
解答：解：（I）∵f （x）=x³-3ax+1，
∴f′（x）=3x²-3a，
当a≤0时，f′（x）≥0恒成立，f （x）的单调增区间为R；
当a＞0时，由f′（x）＞0得x＜或x＞
故f （x）的单调增区间为（-∞，）和（，+∞），f （x）的单调减区间为（，）
（II）当a≤0时，由（I）可知f （x）在[0，]递增，且f（0）=1，此时无解；
当0＜a＜3时，由（I）可知f （x）在∈[0，）上递减，在（，]递增，
∴f （x）在[0，]的最小值为f（）=1-2a
∴，即
解得：a=1
当a≥3时，由（I）可知f （x）在[0，]上递减，且f（0）=1，
∴
解得：a≤
此时无解
综上a=1
点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性等性质，及导数应用等基础知识，同时考查推理论证能力