Question

（2013•徐州一模）如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，且AB=BC=CA=

3

，AD=CD=1．
（1）求证：BD⊥AA₁；
（2）若E为棱BC的中点，求证：AE∥平面DCC₁D₁．

Answer 1

分析：（1）利用垂直平分线的判定定理即可得到BD垂直平分AC，利用面面垂直的性质定理即可得到BD⊥平面AA₁C₁C，利用线面垂直的性质定理即可证明结论；
（2）利用△OCD的边角关系即可得到∠OCD=30°，从而得到∠BCD=90°，DC⊥BC，利用等边三角形的性质即可得到AE⊥BC，得到AE∥DC，
再利用线面平行的判定定理即可证明结论．

解答：证明：（1）∵AB=BC，AD=CD，∴BD垂直平分AC，
∵平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，
∴BD⊥平面AA₁C₁C，
∴BD⊥AA₁；
（2）是BD∩AC=O，则OC=

3

2

，
又DC=1，∴cos∠OCD=

OC

DC

=

3 2

1

=

3

2

，∴∠OCD=30°．
∵∠ACB=60°，∴∠BCD=90°．
∴DC⊥BC．
∵E为等边三角形的边BC的中点，∴AE⊥BC，∴DC∥AE．
∵AE?平面DCC₁D₁．DC?平面DCC₁D₁．
∴AE∥平面DCC₁D₁．

点评：熟练掌握垂直平分线的判定定理、面面垂直的性质定理、线面垂直的性质定理、直角△OCD的边角关系、等边三角形的性质、线面平行的判定定理是解题的关键．