Question

已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+=0相切，过点P（4，0）的直线L与椭圆C相交于A、B两点．
（1）求椭圆C的方程；   
（2）求的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据离心率为，可得a²=b²，根据椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+=0相切，可求b的值，从而可得椭圆的方程；
（2）由题意知直线AB的斜率存在，设直线PB的方程代入椭圆方程，利用韦达定理，及向量的数量积公式，即可确定的取值范围．
解答：解：（1）由题意知 e==，∴e²===，即a²=b²
又∵椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+=0相切
∴b==，∴a²=4，b²=3，
故椭圆的方程为
（2）由题意知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k（x-4）．
疳直线方程y=k（x-4）代入椭圆方程可得：（3+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0
由△＞0得：1024k⁴-4（3+4k²）（64k²-12）＞0，解得k²＜             
设A（x₁，y₁），B （x₂，y₂），则x₁+x₂=，x₁x₂=
∴
∵，
∴
∴的取值范围是
点评：本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆的标准方程，解题的关键是确定几何量之间的关系，利用直线与椭圆联立，结合韦达定理求解．