Question

设等差数列{a_n}的首项a₁为a，前n项和为S_n．

(Ⅰ)若S₁，S₂，S₄成等比数列，求数列{a_n}的通项公式；

(Ⅱ)证明：n∈N*，S_n，S_n+1，S_n+2不构成等比数列．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)解：设等差数列{an}的公差为d，则Sn＝na＋， 　　S1＝a，S2＝2a＋d，S4＝4a＋6d．由于S1，S2，S4成等比数列，因此 　　＝S1·S4，即得d(2a－d)＝0．所以，d＝0或2a． 　　(1)当d＝0时，an＝a； 　　(2)当d＝2a时，an＝(2n－1)a．　6分 　　(Ⅱ)证明：采用反证法．不失一般性，不妨设对某个m∈N*，Sm，Sm＋1，Sm＋2构成等比数列，即．因此 　　a2＋mad＋m(m＋1)d2＝0，① 　　(1)当d＝0时，则a＝0，此时Sm＝Sm＋1＝Sm＋2＝0，与等比数列的定义矛盾； 　　(2)当d≠0时，要使数列{an}的首项a存在，必有①中的Δ≥0． 　　然而Δ＝(md)2－2m(m＋1)d2＝－(2m＋m2)d2＜0，矛盾． 　　综上所述，对任意正整数n，Sn，Sn＋1，Sn＋2都不构成等比数列．　14分

提示：

本题主要考查等差数列、等比数列的概念、等差数列的通项公式及前n项和的公式，同时考查反证法与推理论证能力．满分14分．