Question

已知函数f（x）=-x²+mx-m．
（1）若函数f（x）的值域是（-∞，0]，求实数m的值；
（2）若函数f（x）在[-1，0]上单调递减，求实数m的取值范围；
（3）是否存在实数m，使得f（x）在[2，3]上的值域恰好是[2，3]？若存在，求出实数m的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由f（x）的值域是（-∞，0]，即二次函数f（x）有且只有一个值y=0，得△=0，求出m的取值．
（2）由f（x）图象的性质得[-1，0]在对称轴x=

m

2

右侧时，f（x）单调递减，从而得出m的取值范围．
（3）讨论f（x）的对称轴x=

m

2

是在[2，3]的左侧时，在[2，3]的右侧时，以及在[2，3]上时，求出满足条件的m的值．

解答：解：（1）∵函数f（x）=-x²+mx-m，值域是（-∞，0]，
且二次函数f（x）图象是抛物线，开口向下，
∴f（x）有且只有一个值y=0，
即△=m²-4m=0，
解得m=0，或m=4；
∴m的值为0或4．
（2）函数f（x）=-x²+mx-m图象是抛物线，开口向下，对称轴是x=

m

2

；要使f（x）在[-1，0]上是单调递减的，应满足

m

2

≤-1，∴m≤-2；
∴m的取值范围是{m|m≤-2}．
（3）当

m

2

≤2，即m≤4时，f（x）在[2，3]上是减函数，
若存在实数m，使f（x）在[2，3]上的值域是[2，3]，
则有

f(2)=3 f(3)=2

，即

-4+2m-m=3 -9+3m-m=2

，解得m不存在；
当

m

2

≥3，即m≥6时，f（x）在[2，3]上是增函数，
则有

f(2)=2 f(3)=3

，即

-4+2m-m=2 -9+3m-m=3

，解得m=6；
当2＜

m

2

＜3，即4＜m＜6时，f（x）在[2，3]上先增后减，所以f（x）在x=

m

2

处取最大值；
∴f（

m

2

）=-(

m

2

)2+m•（-

m

2

）-m=3，
解得m=-2或6（不满足条件，舍去）；
∴综上，存在实数m=6，使f（x）在[2，3]上的值域恰好是[2，3]．

点评：本题考查了二次函数在闭区间上的单调性与值域问题，讨论对称轴与区间的位置，得出结论．