Question

图1-3-7是一个正方体,H、G、F分别是棱AB、AD、AA₁的中点.现在沿三角形GFH所在平面锯掉正方体的一个角,问锯掉的这块的体积是原正方体体积的几分之几?

图1-3-7

Answer 1

思路分析:因为锯掉的是立方体的一个角,所以HA与AG、AF都垂直,即HA垂直于三角形AGF所在的立方体的上底面,实际上锯掉的这个角,是以三角形AGF为底面,H为顶点的一个三棱锥.

解:设正方体的棱长为a,则正方体的体积为a³.

三棱锥的底面是直角三角形AGF,而∠FAG为90°,G、F又分别为AD、AA₁的中点,

所以AF=AG=a.

这样△AGF的面积为×a×a=a².AH是三棱锥的高,H又是AB的中点,

所以AH=a.而三棱锥的体积等于底面积与高的乘积再除以3,所以锯掉的那一角的体积为×a×a²=a³.

所以锯掉的那块的体积是原正方体体积的.

  绿色通道:对于三棱锥(或四面体)的体积来说,三棱锥的任何一个面都可以充当它的底面,顶点到这个面的距离即是高.根据题目的已知条件更换底面,可方便地解决相关问题,这种方法在求三棱锥的体积时常用.