Question

已知函数f（x）=-cosx，g（x）=2x-π，数列{x_n}满足：x₁=a（a∈），g（x_n+1）=f（x_n）n∈N^*．
（1）当a=时，求x₂，x₃的值并写出数列{x_n}的通项公式（不要求证明）；
（2）求证：当x≥0时，-x≤f′（x）≤x；
（3）求证：…+＜π（n∈N^*．

Answer 1

【答案】分析：（1）当a=时，函数f（x）=-cosx，g（x）=2x-π，由g（x_n+1）=f（x_n）n∈N^*，得，故．．由此猜想：．
（2）设F（x）=f′（x）-x=sinx-x，则F′（x）=cosx-1≤0，故F（x）≤F（0）=0，f′（x）≤x，由此能够证明当x≥0时，-x≤f′（x）≤x．
（3）当x≥0时，|f′（x）|≤|x|，当x＜0时，|f′（x）|≤|x|，对?x∈R，恒有：|f′（x）|≤|x．由此入手能够证明…+＜π（n∈N^*．
解答：（1）解：当a=时，
∵函数f（x）=-cosx，g（x）=2x-π，
∴由g（x_n+1）=f（x_n）n∈N^*，
得，
∵，
∴，∴．
，∴．
由此猜想：．…（2分）
（2）证明：设F（x）=f′（x）-x=sinx-x，
则F′（x）=cosx-1≤0，
∴F（x）在[0，+∞）上为减函数，即F（x）≤F（0）=0，
即f′（x）≤x，…（4分）
设H（x）=f′（x）+x=sinx+x，则H′（x）=cosx+1＞0，
∴H（x）在[0，+∞）上为增函数，
即H（x）≥H（0）=0，即f′（x）≥-x，…（5分）
∴当x≥0时，-x≤f′（x）≤x．                  …（6分）
（3）证明：由（1）知：当x≥0时，|f′（x）|≤|x|，
同理可证：当x＜0时，|f′（x）|≤|x|，即对?x∈R，恒有：|f′（x）|≤|x|．…（7分）
由g（x_n+1）=f（x_n）n∈N^*，
得，
∴
=
≤ （n∈N^*）    …（8分）
∴，
，…，，
从而，…（10分）
…+
≤[ …（11分）

=[1+2（1-）]
=[3-]，…（13分）
＜π，a∈，
∴…+＜π（n∈N^*． …（14分）
点评：本题考查数列与不等式的综合应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．