Question

已知实数a，b满足-1≤a≤1，-1≤b≤1，则函数f（x）=

1

3

x3-ax2+bx+5的两个极值点都在（0，1）内的概率为

1

12

．

Answer 1

分析：由题设知x²-2ax+b=0的两个根都在（0，1）内，作出区域-1≤a≤1，-1≤b≤1的面积和a²＞b在条件0＜a＜1，0＜b＜1下的面积，由此能求出结果．

解答：解：：∵函数f（x）=

1

3

x3-ax2+bx+5，
∴f′（x）=x²-2ax+b，
∵函数f（x）=

1

3

x3-ax2+bx+5的两个极值点都在（0，1）内，
x²-2ax+b=0的两个根都在（0，1）内，
∴两根之和2a∈（0，2），两根之积b∈（0，1），
∴

△=4a2-4b＞0 0＜a＜1 0＜b＜1

，
∵实数a，b满足-1≤a≤1，-1≤b≤1，
∴如图所示，区域-1≤a≤1，-1≤b≤1的面积（图中正方形所示）为4，
a²＞b在条件0＜a＜1，0＜b＜1下的面积（图中阴影所示）为：∫₀¹x²dx=

1

3

x3|₀¹=

1

3

．
∴

1 3

4

=

1

12

．
故答案为：

1

12

．

点评：几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、含面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据公式求解．