Question

设f₀（x）=sinx，f₁（x）=f₀′（x），f₂（x）=f₁′（x），…，f_n+1（x）=f_n′（x），n∈N，则f₂₀₀₅（x）=

 

．

Answer 1

考点：导数的运算

专题：导数的概念及应用

分析：通过计算前几项，进行归纳分析，当计算到f₄（x）时发现f₄（x）=f₀（x），所以可看成以4为一个循环周期，那么f₂₀₀₅（x）=f₁（x）=cosx

解答： 解：∵f₀（x）=sinx，
∴f₁（x）=f₀′（x）=cosx，
∴f₂（x）=f₁′（x）=-sinx，
∴f₃（x）=f₂′（x）=-cosx，
∴f₄（x）=f₃′（x）=sinx，
…
由引可以得出呈周期为4的规律重复出现，
∵2005=4×501+1
则f₂₀₀₅（x）=f₁（x）=cosx，
故答案为：cosx

点评：本题考查导数的运算，求解本题的关键是掌握正、余弦函数的求导公式，以及在求导过程中找出解析式变化的规律，归纳总结是解题过程中发现规律的好方式．本题考查了归纳推理．