Question

已知数列{a_n}是首项为a₁=

1

4

，公比为q=

1

4

的等比数列，设bn+2=3log

1

4

an（n∈N^*）数列{c_n}满足c_n=a_n•b_n
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）利用等比数列的通项公式即可得到a_n，利用对数的运算法则即可得到b_n；
（2）利用（1）即可得到c_n，再利用“错位相减法”即可得到S_n．

解答：解：（1）∵数列{a_n}是首项为a₁=

1

4

，公比为q=

1

4

的等比数列，∴a_n=

1

4

×(

1

4

)n-1=

1

4n

．
∴b_n+2=3lo

g

an 1 4

=3lo

g	( 1 4 )n 1 4

=3n，
∴b_n=3n-2．
（2）∵cn=an•bn=(3n-2)•

1

4n

．
∴S_n=

1

4

+

4

42

+

7

43

+…+

3n-5

4n-1

+

3n-2

4n

，
∴

1

4

Sn=

1

42

+

4

43

+…+

3n-5

4n

+

3n-2

4n+1

，
上两式相减得

3

4

Sn=

1

4

+3(

1

42

+

1

43

+…+

1

4n

)-

3n-2

4n+1

=-

1

2

+3×

1 4 [1-( 1 4 )n]

1- 1 4

-

3n-2

4n+1

=

1

2

-

1

4n

-

3n-2

4n+1

．
∴S_n=

2

3

-

3n+2

3•4n

．

点评：熟练掌握等比数列的通项公式、对数的运算法则、“错位相减法”是解题的关键．