Question

长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AB＝BC＝1，AA₁＝2，E是侧棱BB₁的中点．

(1)求证：直线AE⊥平面A₁D₁E；

(2)求三棱锥A－A₁D₁E的体积；

(3)求二面角E－AD₁－A₁的平面角的余弦值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)依题意：，，　　　　　2分则平面　　　　3分 　　(2)　　　　3分(写出公式得2分，计算1分) 　　(3)方法一：向量法以D为原点，DA、DC、DD1分别x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，A1(1，0，2)，D1(0，0，2)，E(1，1，1) 　　∴　　　5分 　　设平面AD1E的法向量为 　　，即 　　令，则　　　　7分 　　又是平面AA1D的法向量，则　8分 　　，　　　　10分 　　而二面角为锐二面角，故其余弦值为　　　　12分 　　方法二：传统法(供参考) 　　取的中点，连，则、，所以平面．过在平面中作，交于，连，则， 　　所以为二面角的平面角．在中， 　　所以．